LISTA DE EXERCICIOS DE CALCULO 3

01 08, calcule  f ( x , y ) d x d y , onde D é a região descrita em cada caso. D 01. f ( x , y)  02. f ( x , y)  ( x  y) 2 x2 2 , D o retângulo 3  x  4 , 1  y  2 . , D no 1º quadrante, limitada pelas retas y  x , x  2 e pela hipérbole y  y f ( x , y)  x , D o triângulo cujos vértices são ( 0 , 0 ) , (1, 1) e ( 0 , 1) . 03. 04. 1 1 . x f ( x , y)  x , D no 1º quadrante, limitada pela reta x  y  2 e pelo arco da circunferência de raio 1, que tem seu centro no ponto ( 0 , 1) . x , D limitada pela parábola y 2  x e pelas retas x  0 e y  1 . 05. f ( x , y)  e 06. f ( x , y)  x 2  y 2 , D o triângulo cujos vértices são ( 0 , 0 ) , (1,  1) e (1, 1) . 07. f ( x , y)  y x x2y2 , D limitada pela parábola y  ( Sugestão:  arctg u d u  u arctg u  08. x2 e pela reta y  x . 2 1 ln( 1  u 2 )  c ) 2 f ( x , y)  x 2  y 2 , D no 1º quadrante, limitada pelos eixos coordenados e pela circunferência de centro na origem e raio a . Nos exercícios 09 a 12, escreva as integrais dadas com a ordem de integração invertida. 1 3x 4 12 x 09.   ( f ( x, y ) d y ) d x 10. 0 3x2 a 11. 0 13. 1 12. f ( x, y ) d y ) d x  D 1 x2 a2  y2 b2 1 y (  0  a2  x2 2a Calcule f ( x, y) d y ) d x 0 2x a2  x2 (  (  f ( x, y) d x ) d y 1  y2 d x d y , sendo D  { ( x…

e escreva a integral dupla ZZ f (x; y) dA como D uma integral iterada (repetida) de modo a obter o cálculo mais simples. 3.1B Calcule as seguintes integrais iteradas e em cada caso esboce a região de integração. Inverta a ordem de integração e compare o grau de di…culdade no cálculo da integral nas duas ordens. (a) Z 1Z 0 (d) jxj 0 Z 3Z 1 p dydx (b) Z Z 0 x 1 x xydydx (e) Z Z 0 x cos x2 dydx (c) 0 Z 3Z 0 y sen xdxdy y (f) Z 2Z 1 2 12xy 2 8x3 dydx 1 0 1…

Matrcula: 1. Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas: (a) y = 1 4Trabalho de Comprimento de Arco, Area de Superfcie, Logaritmo e Exponencial Aluno(a): Matrcula: 1. Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas: (a) y = 1 4 x2 􀀀 1 2 ln x; 1  x  2: (b) y = ln (sec (x)) ; 0  x   4 : (c) y = ln (cossec (x)) ;  6  x   4 : 2. Ache a area da superfcie de revoluc~ao obtida pela rotac~ao das seguintes curvas em torno do eixo indicado: (a)…

Indefinidas Calcule as integrais indefinidas abaixo. Para a verifica¸ca˜o da resposta lembre-se de que f (x)dx = F (x) + k (k constante ) ⇔ F (x) = f (x), ∀x ∈ Df . x7 + x 2 + 1 dx x2 4. tg 2 x dx sen3 x dx 7. √ cosx x dx 10. 1 + x2 √ 13. x 1 − x2 dx 1. √ x2 5 x3 + 1 dx dx √ (arcsenx) 1 − x2 2. e2x dx 3. cos7x dx 5. 7 x−2 6. tg 3 x sec2 x dx 8. tg x dx dx 9. tg 3 x dx x dx 1 + x4 14. secx dx 11. 12. 15. x2 dx …

= {(x, y) ∈ R2 /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} um retângulo em R2 . Consideremos P1 = {x0 , x1 , ...., xn } e P2 = {y0 , y1 , ...., yn } partições de ordem n de [a, b] e [c, d] respectivamente, tais que: a = x0 < x1 < . . . . . . < xn = b e xi+1 − xi = d−c b−a , yj+1 − yj = . n n e c = y 0 < y 1 < . . . . . . < yn = d d yj+1 yj c a xi x i+1 b R R ij Figura 8.1: Partição de R. O conjunto P1 × P2 é denominada partição do retângulo R de ordem n. Sejam os n2 sub-retângulos…

uma figura delimitada por duas rectas verticais, o semi-eixo positivo dos XX e por uma dada função y = f (x) . Definição: Seja f uma função, real de variável real, definida num intervalo [a, b]. Chama-se partição P desse intervalo a qualquer decomposição de [a, b] em n subintervalos da forma xi tais que: a = x0 < x1 < x2 < < xn = b . Definição: Seja f uma função, real de variável real, definida num intervalo [a, b] e P uma partição desse intervalo. Chama-se Soma de…

= [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R2 /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} um retângulo em R2 . Consideremos P1 = {x0 , x1 , ...., xn } e P2 = {y0 , y1 , ...., yn } partições de ordem n de [a, b] e [c, d] respectivamente, tais que: e a = x0 < x1 < . . . . . . < xn = b e xi+1 − xi = c = y 0 < y 1 < . . . . . . < yn = d d−c b−a , yj+1 − yj = . n n d yj+1 yj R R ij c xi a x i+1 b Figura 8.1: Partição de R. O conjunto P1 × P2 é denominada partição…

INTEGRAL DUPLA Seja z = f(x, y) uma função definida em um conjunto B. DEF. A área de B é dada por Area de B = 01.Sendo B = [0, 3]x[1, 5], determine a área de B. R. A = = 12 02. Sendo B = [-1, 3]x[2, 7], determine a área de B. 03. Sendo B o triangulo de vértices (0, 0) , ( 0, 1) e ( 1, 1) , determine a área de B. R. A = = 04. Sendo B o triangulo de vértices (0, 0) , ( 1, 0) e ( 1, 1) , determine a área de B. 05. Seja B a semicircunferência de centro (0, 0) e…

Carvalho Figueiredo Rillo 1 x2 4 1) Se f ( x) , calcule a) f(0) b) f( ) t x 1 f (h) f (0) c) f(x-2) d) . f ( h) 2) Sendo f ( x) 3) 4) 5) a) e) 6) x 2 , calcule a) f(0) 1 Sendo f ( x ) , calcule a) f(x+3) x x 2 1, se x Dada a função f ( x) 2 x 1, se x Calcule o domínio das funções 1 f ( x) x 4 2 x 2 b) f ( x) 2x 5 3 f ( x) x2 1 . x 2 Esboce o gráfico de a) f ( x) 2 x 3 e) f ( x) x, se x 0 2, se x 0 7) Verifique a paridade das funções …

determinação de volumes sob superfícies. Dada uma função f de duas variáveis, contínua e não negativa numa região R do plano xy, é possível encontrar o volume do sólido compreendido entre a superfície z = f(x,y) e a região R. O procedimento para calcular o volume V é similar ao processo limitante para determinar áreas, exceto que, agora, os elementos de aproximação são paralelepípedos regulares, em vez de retângulos. k kkkn AyxfV 1 O limite das somas de Riemann é denotado por: k n R…