Álgebra Vetorial (Aula)

Vetores
Produto Escalar
Se¸˜o 12.3 ca F´bio S. Bemfica a EC&T - UFRN

F´bio Sperotto Bemfica (EC&T – UFRN) a Vetores Produto EscalarSe¸˜o 12.3 ca 1 / 10

Produto Escalar
Defini¸˜o
ca
Se u = (u1 , u2 , u3 ) e v = (v1 , v2 , v3 ), ent˜o o produto escalar de u e v ´ a e o n´mero u · v dado por u u · v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 .
O produto escalar ´ uma caso espec´ e ıfico de produto interno. No caso bidimensional tamb´m podemos definir o produto interno da mesma e maneira: (a1 , a2 ) · (b1 , b2 ) = a1 b1 + a2 b2 .
Exemplos
(2, 4) · (3, −1) = 2(3) + 4(−1) = 2
1
1
= (−1)(6) + 7(2) + 4 −
(−1, 7, 4) · 6, 2, −
2
2
(ı + 2 − 3k) · (2 − k)
F´bio Sperotto Bemfica (EC&T – UFRN) a =

1(0) + 2(2) + (−3)(−1) = 7

Vetores Produto EscalarSe¸˜o 12.3 ca 2 / 10

Produto Escalar

Propriedades do Produto Escalar
Se u, v e w s˜o vetores em R3 e c ´ um escalar, ent˜o a e a 1. u · u = ||u||2
3. u · (v + w ) = u · v + u · w
5. 0u = 0

F´bio Sperotto Bemfica (EC&T – UFRN) a 2. u · v = v · u
4.; (cu) · v = c(u · v ) = u · (cv )

Vetores Produto EscalarSe¸˜o 12.3 ca 3 / 10

Produto Escalar
Theorem (Teorema)
Se θ ´ o ˆngulo entre os vetores v e u, ent˜o e a a u · v = ||u|| ||v || cos θ .
Prova no quadro.

F´bio Sperotto Bemfica (EC&T – UFRN) a Vetores Produto EscalarSe¸˜o 12.3 ca 4 / 10

Produto Escalar

Exemplo
Qual o ˆngulo entre os vetores u = (1, 1) e v = (−1, 1)? a Ortogonalidade
Os vetores u e v s˜o ortogonais se u · v = 0. Em particular, o vetor nulo 0 a ´ o unico vetor ortogonal ` todos os outros. e ´ a Exemplo: mostre que 2ı + 2 − k ´ ortogonal ` 5ı − 4 + 2k. e a

F´bio Sperotto Bemfica (EC&T – UFRN) a Vetores Produto EscalarSe¸˜o 12.3 ca 5 / 10

ˆ
Angulos Diretores e Cossenos Diretores
Os ˆngulos diretores de um vetor a s˜o os ˆngulos α, β e γ (no intervalo a a a [0, π]) que a faz com os eixos coordenados. cos α =

a·ı a1 =
,
||a|| ||ı||
||a||

cos β