Álgebra moderna

Álgebra Moderna

1) A é um conjunto com 5 elementos e R={0,1;1,2;2,3;3,4} é uma relação sobre A. Precisa-se obter.
I} Os elementos de A;
II} Domínio e imagem de R
III} Os elementos, domínio e imagem de R-1

Resolução
I} A=0,1,2,3,4 II} DR={0,1,2,3}

III} Imf={1,2,3,4}

2) Pode uma relação sobre o conjunto E≠∅ ser simétrica e anti-simétrica? Pode uma relação sobre E não ser simétrica nem anti-simétrica? Justifique.

Resolução
Pode haver relações simétricas e anti-simétrica ao mesmo tempo, por exemplo na relação R={a,a;(b,b)} de conjunto E={a,b}.
Pode haver relações que não são simétricas nem anti-simétrica, por exemplo seja A={a,b,c,d} e R={a,a;a,b;b,c;c,b;c,c;(d,d)}, há uma flecha de ponta única e uma de duas pontas.

3) Mostre através de um exemplo que se ρpartição é uma partição de E, então existe uma relação R de equivalência sobre E de modo que E/R=ρ.

Resolução
Dada a partição ρ={a,b,c,{d,e,f}}, a ela podemos associar a relação de equivalência
R={a,a,a,b,b,a,b,b,c,c,d,d,d,e,e,d,
e,e,e,f,f,a,f,f,f,d,(d,f)} e temos E/R={a,b,c,{d,e,f}}=ρ

4) Sendo E=R, A=0,1 e a ordem é a habitual, determine a) Limites superiores de A b) Limites inferiores de A c) Máximo de A d) Mínimo de A e) Supremo de A f) O ínfimo de A g) Elementos maximal de A h) Elementos mínimas de A
Resolução
a) São limites superiores de A os números L≥1 b) São limites inferiores de A os números l≤0 c) O máximo de A é 1 d) A não tem mínimo e) O supremo de A é 1 f) O ínfimo de A é 0 g) Só 1 é elemento maximal de A h) A não possui elementos mínimas.

5) No caso abaixo esta definida uma operação sobre ZxZ. Verifique se é associativa, se é comutativa, se existe neutro e elemento simetrizável a,b∆c,d={a+c.b+d} Resolução
Associatividade
a,b∆c,d∆e,f=a,b∆c,d∆e,f a,b∆c+e,d+f=(a+c,b+d)∆(e,f) a+c+e,b+d+f={a+c+e,b+d+f} Logo, a,b∆c,d∆e,f=a,b∆c,d∆e,f Comutatividade