O teorema de banach- tarski

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Bol. Soc. Paran. Mat. (3s.) v. 22 2 (2004): 127–144. c SPM –ISNN-00378712

O Teorema de Banach- Tarski
Luciano Panek

abstract:

We will present in this work the curious and provocative BanachTarski Theorem: subsets of the three-dimensional Euclidean space with non-empty interior is part congruent, that is, one subset can be rearranged by isometries of a finite number of parts of the other.The proof, here (a free translation from Karl Stromberg’s text, American Mathematical Monthly, 1979), is elegant and of elementary level, therefore accessible to the undergraduate student in Mathematics.

Contents 1 Introdução 2 A prova do Teorema de Banach-Tarski 2.1 Espaços Normados . . . . . . . . . . . 2.2 Isometrias do Espaço Euclidiano . . . 2.3 Grupo de Rotações . . . . . . . . . . . 2.4Partições de Esferas . . . . . . . . . . 2.5 Congruência de Conjuntos . . . . . . . 2.6 O paradoxo de Banach-Tarski . . . . . 3 Considerações Finais 1. Introdução Nestas notas apresentaremos o “paradoxal” teorema elaborado por Stefan Banach e Alfred Tarski1 em 1924 ( [4]). Os resultados necessários para a prova do teorema são de autoria de Karl Stromberg (1979, [12]). Estes resultados forammotivados pelo trabalho de A. M. Bruckner e Jack Ceder onde são discutidos os fenômenos de conjuntos não-mensuráveis ( [3]). Acreditamos que a prova oferecida por Karl Stromberg é acessível aos estudantes de graduação que já têm conhecimento prévio em teoria dos grupos (nada muito além da definição), noções de conjuntos abertos, noções em teoria das matrizes (multiplicação, determinante),
2000Mathematics Subject Classification: 04-01, 04A20 Notas Históricas. Stefan Banach, juntamente com Norbert Wiener, deram contribuições importantes no começo da década de 1920-30 à origem da teoria moderna dos espaços vetoriais. Banach introduziu o conceito de espaços normados em 1923, sendo os espaços normados completos chamados de espaços de Banach. Já o lógico Alfred Tarski migrou da Alemanhã para osEstados Unidos na primavera de 1933 depois da ascensão de Hitler. Tarski, em 1948, no Massachusetts Institute of Technology, estabeleceu um novo campo dedicado ao estudo do controle e comunicação em animais e máquinas ( [1]).
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indução finita e teoria dos conjuntos (relações com imagem inversa de funções, relação de equivalência). Teorema de Banach-Tarski. Seja B (0; r) a bola fechada de centro 0 e raio r > 0 em R3 , ou seja, B (0; r) = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ r . Entãoexite uma partição finita de B (0; r) que depois de rearranjada forma duas bolas fechadas idênticas a B (0; r). Como disse Karl Stromberg em [12]: “Isto parece ser patentemente falso, a menos que nos submetamos à tola prática de confundir os objetos “ideais” da geometria com os objetos “reais” do mundo ao nosso redor. Certamente, parece uma tolice dizer que uma bola de bilhar pode ser dividida empedaços que podem ser reajuntados de modo a formar uma estátua de Banach em tamanho natural. Nós, é claro, não fazemos tal afirmação. Mesmo no mundo da matemática, este teorema é estonteante, embora verdadeiro”.2 2. A prova do Teorema de Banach-Tarski Evidentemente, o teorema de Banach-Tarski é surpreendente e por este motivo é esperado (e é) que sua prova não seja imediata. Optamos então por separaros conceitos preliminares em três seções iniciais, cada uma de acordo com uma grande área de concentração da Matemática: a Análise, a Geometria e a Álgebra. As demais seções são dedicadas a demonstração do teorema de Banach-Tarski. 2.1. Espaços Normados. Começamos pela definição de métrica que exprime nossa noção intuitiva de distância: Definição 1 Se E é um conjunto, diremos que uma função d : E...
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