o Quinto postulado de Euclides e a descoberta de geometrias não-euclidianas

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
FACULDADE DE MATEMÁTICA

O quinto postulado de Euclides e a descoberta de geometrias não-euclidianas

Prof. JSProtázio

Eliane Farias da Silva

MATRÍCULA:10553001111

CAPANEMA-PARÁ
2014

1. Introdução

Até o século XIX a geometria euclidiana era o único sistema geométrico conhecido, relacionado com medidas e os familiares conceitos de congruência, paralelismo e perpendicularismo.

Posteriormente, um novo sistema geométrico foi estabelecido, tratando dos mesmos assuntos, mas com muitos resultados discordantes daqueles relacionados com a geometria euclidiana.

Este novo ramo geométrico ficou conhecido como geometria não-euclidiana e produziu profundos efeitos sobre outras áreas do conhecimento, como a física e a filosofia.

Como sempre acontece com o surgimento de novas ideias, esta descoberta foi fruto de inúmeros esforços para que se atingisse algo significativamente diferente.

Tudo começou com as diversas tentativas de se demonstrar o quinto postulado de Euclides como um teorema e não tratá-lo como um mero postulado.

Este trabalho propões descrever estas várias tentativas ao longo da história e conclui com a descoberta de novas geometrias, decorrentes destas tentativas.

2. Os axiomas de Euclides

Euclides estabeleceu de hipóteses e diferentes definições como base para os seus teoremas. Estas hipóteses consistem de cinco postulados geométricos e cinco axiomas gerais, abaixo discriminados:

Os postulados

1. Por dois pontos distintos passa uma única reta.

2. Por uma reta, pode-se traçar sempre qualquer segmento de reta.

3. Existe um único círculo com centro e raio dados.

4. Todos os ângulos etos são iguais.

5. Se uma reta corta duas outras tretas (no mesmo plano) fazendo ângulos interiores sobre um mesmo lado medindo menos que dois ângulos retos, então as duas retas, se prolongadas