O Pêndulo Oscilatório

O Pêndulo Oscilatório O pêndulo oscilatório pode servir para o estudo e compreensão dos conceitos de estabilidade, estabilidade assintótica e instabilidade. Tomamos por pêndulo, uma massa m presa a uma das extremidades de uma barra rígida ou fio de massa desprezível e comprimento L. A outra extremidade da barra ou fio está pendurada em uma origem O e a posição deste pêndulo em relação sua origem é denominado por um ângulo θ. O momento angular em torno de O é mL²(dθ/dt), assim, a equação de movimento utilizada é: mL² (d^2 θ)/(dt^2 )= -cL dθ/dt-mgLsenθ. Por operações algébricas diretas, na forma canônica, transformamos essa equação em:

(d^2 θ)/(dt^2 )+ γ dθ/dt+ ω^2 senθ=0. dx/dt=y, dy/dt= -ω^2 senx-yγ=0.

Achando um sistema autônomo onde γ e ω^2 são constantes, encontramos os pontos críticos resolvendo as equações y=0, -ω^2 senx-γy=0.

Encontra-se então dois pontos, um para x e outro para y, correspondentes a duas posições de equilíbrio, uma com a massa diretamente acima do suporte (θ=π) e outra com a massa diretamente abaixou do suporte (θ=0). Intuitivamente sugere-se que a primeira posição é instável e a segunda estável.

y=0 e x= ±nπ, onde n é um número inteiro Se a massa é deslocada ligeiramente da posição de equilíbrio abaixo do suporte, ela oscilará para a direita e esquerda com diminuição da amplitude gradualmente, até atingir o equilíbrio. Esse tipo de movimento ilustra a estabilidade assintótica. E se a massa for deslocada ligeiramente da sua posição de equilíbrio acima do suporte, ela cai abruptamente, sob influência gravitacional, chegando a um equilíbrio abaixo do suporte. Esse evento ilustra a instabilidade. Na prática, é impossível manter o pêndulo em sua posição de equilíbrio acima do suporte sem que haja alguma força externa que a segure, devido a gravidade que atrairá a massa ao solo. Se considerarmos a situação ideal na qual o coeficiente de amortecimento é nulo. Nesse caso, se a massa for