O plano

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 6 PLANO

Definição: Seja A um ponto e v1 e v2 dois vetores LI (não paralelos), todos contidos um plano (π). Seja X um ponto qualquer do plano. Assim, os vetores {v1, v2 , AX} são LD (coplanares). Logo existem escalares t1 e t2 ∈ ℜ tais que AX = v1t1 + v2t2 .

v1t 1 v1
A

X

(π)

AX v2 v2 t 2

Da expressão AX = v1t1 + v2t2podemos escrever que X − A = v1t1 + v2t2 . Então a equação X = A + v 1 t1 + v 2 t 2 , chamada de equação vetorial do plano (π) para

t1 e t2 ∈ ℜ , chamados de parâmetros.
O plano é constituído de pontos. Assim, para cada valor real de t1 e t 2 substituídos na equação vetorial vamos obtendo os infinitos pontos X desde plano. Por exemplo. Considere o plano (π) : X = (2,1,2) + t1 (1,1,0) + t 2 (−1,3,1), então: para t 1 = 0 e t 2 = 0 ⇒ X = (2,1,2) + 0 ⋅ (1,1,0) + 0 ⋅ (−1,3,1) ⇒ X1 = (2,1,2) ∈ (π) ; para t 1 = 1 e t 2 = −1 ⇒ X = (2,1,2) + 1 ⋅ (1,1,0) + (−1) ⋅ (−1,3,1) ⇒ X 2 = (4,−1,1) ∈ (π) ; para t1 = −1 e t 2 = 2 ⇒ X = (2,1,2) + (−1) ⋅ (1,1,0) + 2 ⋅ (−1,3,1) ⇒ X 3 = (−1,6,4) ∈ (π) ; Assim por diante.

Um axioma importante da geometria é aquele que diz "três pontos não colineares determinamum único plano". Assim, é possível escrever a equação vetorial de um plano dados três pontos não alinhados (não colineares) deste plano. Note que, pela definição anterior, para determinarmos um plano é necessário conhecermos um ponto e dois vetores LI (não paralelos) deste plano.
B A C

X

(π)

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Portanto, dados três pontos não colineares A, B e C de um plano (π) podemos escrever (π) :X = A + AB ⋅ t1 + AC ⋅ t 2 . A escolha do ponto e da orientação dos vetores não altera a determinação do plano, ou seja, poderíamos ter escolhido o ponto C e os vetores BC e CA para determinarmos o mesmo plano

(π) da seguinte forma

(π) : X = C + BC ⋅ t1 + CA ⋅ t2 .

6.1 Equações do Plano Equações Paramétricas Seja X(x, y, z) um ponto qualquer do plano (π). Sejam também e conhecidos o pontoA(x 0 , y 0 , z 0 ) e os vetores v1 = (x1, y1, z1) e v2 = (x2, y2, z2 ) vetores LI deste plano. Da equação vetorial

X = A + v1t1 + v2t2 ,

∀t1 , t 2 ∈ ℜ ,

substituindo

as

coordenadas de cada elemento teremos:

x = x o + x1 t 1 + x 2 t 2  (x, y, z) = (xo , yo , zo ) + (x1, y1, z1) ⋅ t1 + (x2, y2, z2 ) ⋅ t2 ⇒ y = y o + y1 t 1 + y 2 t 2 , chamadas z = z + z t + z t o 1 1 2 2 de equações paramétricas do plano, onde os parâmetros são os escalares

t1 e t2 ∈ ℜ .

Equação Geral Como os vetores

{v1, v2 , AX}

são coplanares, então, pela condição de

coplanaridade

temos:

[AX, v1, v2 ] =

x − xo x1 x2

y − yo y1 y2

z − zo z1 = 0 . z2

O

desenvolvimento

deste determinante resultará numa expressão da forma ax + by + cz + d = 0 chamada de equaçãogeral do plano.

Equação Segmentária Da equação geral do plano (π) podemos escrever: ax + by + cz = −d . Se d ≠ 0 , vem:

a b c −d x+ y+ = . Se a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0 ⇒ −d −d −d −d

x y z + + = 1 . Fazendo d d d − − − a b c

p=−

x y z d d d , q = − e r = − , temos a equação segmentária do plano: + + = 1. p q r a b c

Os pontos P(p,0,0) , Q(0, q,0) e R(0,0, r) são as interseções do plano(π) com os
eixos coordenados Ox, Oy e Oz, respectivamente. O plano (π) ao "passar" pelo ℜ3

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deixa "traços". Esses traços são as retas, interseção com os planos coordenados xy, xz e yz. Os traços do plano (π) são as retas: (rPQ ) : X = P + PQ ⋅ t ; (rPR ) : X = P + PR ⋅ t e

(rQR ) : X = Q + QR ⋅ t .
A equação segmentária nos ajuda a visualizar um esboço do plano (π) no ℜ3. A Figura(1) representa um esboço do plano (π) um pouco mais elaborado, no entanto, poderíamos esboçar o plano (π) como na Figura (2), a qual exibe somente o octante determinado pelos valores p, q e r. Assim, o "triângulo" PQR representa somente a parte do plano (π) que é visível quando observado do octante determinado pelos valores p, q e r. z r R (π) p P Figura (1) z r R (π) q Q y x p P Figura (2)

q...
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