O limite de uma função

O Limite de uma função

O conceito de limite é importante na construção de muitos outros conceitos no cálculo diferencial e integral, por exemplo, nas noções de derivada e de integral que são os suportes de toda a construção das variáveis físicas, além da importância no cálculo de área e volumes.

A noção de limite
Vamos analisar o comportamento da função definida por f próximos de . A tabela a seguir fornece os valores de para valores de iguais a .

1,0
1,5
1,8
1,9
1,95
1,99
1,995
1,999

2,0
2,75
3,44
3,71
3,852
3,970
3,985
3,997

3,0
2,5
2,2
2,1
2,05
2,01
2,005
2,001

para valores de próximos de , mas não

8,0
5,75
4,64
4,31
4,152
4,03
4,015
4,003

Da tabela e do gráfico de (uma parábola) vemos que quando estiver próximo de (de qualquer lado de ) , tenderá a . De fato, parece que podemos tornar valores de tão próximos de quanto quisermos tornando suficientemente próximo de Expressamos isso dizendo que “o limite da função quando tende a é igual a ” A notação para isso é lim Em geral, escrevemos lim 1

e dizemos “o limite de
, quando tende a , é igual a ”, se pudermos tornar os valores de arbitrariamente próximos de (tão próximos de quanto quisermos), tomando suficientemente próximo de (por ambos os lados de ), mas não igual a .
Grosso modo, isso significa que os valores de ficam cada vez mais próximos do número à medida que tende ao número (por qualquer lado de ), mas
.
Preste atenção na frase “
” acima Isso significa que ao procurar o limite de quando tende a nunca consideramos
. Na realidade, não precisa sequer estar definida quando
. A única coisa que importa é como está definida próximo de .
A figura abaixo mostra o gráfico de três funções. Note que na parte (c), não está definida e, na parte (b),
. Mas em cada caso, não importando o que acontece em , lim
.

Quando se aproximar de valores diferentes ao fazermos se aproximar de por ambos os lados, o gráfico correspondente