O ESPAÇO R2 E PRODUTO INTERNO NO ESPAÇO VETORIAL

2

O CONJUNTO

2

2



O que representa a classe dos pares ordenados (x, y), em x, y  .



Esse conjunto é visto pela primeira vez, na sequência de estudos escolares, quando se faz a interpretação geométrica das funções.



Seus elementos são os pontos, representados pelos pares ordenados (x, y)



Exemplos:



Represente a reta y = 2x – 1 no plano cartesiano.

Solução:
1,5
1
0,5
0 x -1,5

-1

-0,5

0
-0,5
-1
-1,5

-2
-2,5
-3
-3,5 y

0,5

1

1,5

IGUALDADE E OPERAÇÕES
COM PARES ORDENADOS



Igualdade



Dois pares ordenados  x1 , y1  e idênticos somente se

x1  x2 o e

 x2 , y2  são considerados

y1  y2

Exemplo:

Encontre a condição para que os pares ordenados (2x – 5, 4) e
(3, -4y) sejam idênticos.
Solução
2x – 5 = 3

x=4

-4y = 4

y = -1



Produto cartesiano



Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano A x B (lê-se: A cartesiano B) o conjunto cujos elementos são todos pares ordenados (x, y), em que o primeiro elemento pertence a A e o segundo, pertence a B.

o

Exemplo:

Dados A  1, 2,3 e B  1, 2 , encontre:

a) A x B

b) B x A



Relação binária



Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária de A em B todo subconjunto R de A x B e escreve:
.

R  A B o Exemplo:

Se A =

2,3, 4e B = 2,3 , quais são os elementos da

relação R =

 x, y  / x  y de A em B?

VETORES NO PLANO
CARTESIANO



Definição:
Um espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, com duas operações: soma  e multiplicação por escalar
, tais que, para qualquer elemento (ou vetor) v ∈ V e qualquer escalar α, as propriedades (ou axiomas) a seguir, valem.



A1) (u + v) + w = u + (v + w) (associatividade)



A2) Há um elemento 0∈V tal que, para cada v∈V,
(existência de elemento neutro)



A3) Para cada u∈V, existe v∈V, tal que u+v=0 (existência de