O, 9999... = 1?

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PALESTRA
T´tulo: 0, 999 . . . = 1 ? ı
Introdu¸˜o: Um dos resultados mais controversos de ca toda a matem´tica diz respeito ` igualdade 0, 999 . . . = 1. a a Na referˆncia [1] o autor faz uma an´lise das repree a senta¸˜es decimais onde lemos: co “Comecemos com o caso mais simples, que ´ tamb´m o e e mais intrigante. Trata-se da express˜o decimal, ou seja, a do n´mero real u 9 9 9 + + + ··· α =0, 999 . . . = 10 100 1000 Afirmamos que α = 1”. (grifo nosso) Na referˆncia [2] lemos: “[· · · ] vocˆ deve ter concluido e e que 0, 999 . . . = 1. Esse sinal de igual ´ igual mesmo! N˜o e a se trata de aproxima¸˜o: 0, 999 . . . e 1 s˜o duas formas ca a diferentes de apresentar o mesmo n´mero”. (grifo nosso) u Nesta palestra provaremos que 0, 999 . . . = 0 (n˜o, n˜o a a trata-se de um erro dedigita¸˜o!) e que, portanto, todos ca os matem´ticos est˜o equivocados ao afirmarem que: a a 0, 999 . . . = 1, mesmo! Data: 01.09.2008 Local: UFRR/Bloco III/SALA 329/18 : 00 hs Prof. Gentil
Nota: O “.pdf ” deste arquivo encontra-se em:
www.dmat.ufrr.br/∼ gentil ∴ Artigos

Referˆncias e
[1] Lima, Elon Lages. et alii A Matem´tica do Ensino M´dio Vol. 1. Rio de a e Janeiro: SBM, 1997. [2] Brolezzi,Antonio Carlos/Monteiro, Martha Salerno, Matem´tica: N´meros a u para quˆ? Universidade de S˜o Paulo, Publica¸ao eletrˆnica. e a c˜ o

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Gentil

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Palestra
“E aquilo que nesse momento se revelar´ aos povos, surpreender´ a a
a todos n˜o por ser ex´tico mas a o pelo fato de poder ter sempre estado oculto quando ter´ sido o obvio.” a ´
(O ´ ındio/Caetano V.)

Introdu¸˜o: Decidi redigirum (pequeno) ensaio em fun¸ao da palestra ca c˜ anunciada na p´gina anterior, depois mudei de id´ia e decidi ampliar o texto a e para disponibiliz´-lo em minha home-page. a O objetivo desta palestra ´ esclarecer o significado da igualdade, e
0, 999 . . . = 1 (1)

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Igualdades esp´ rias u

Inicialmente chamamos a aten¸ao para o fato de que, na matem´tica, exisc˜ a tem igualdades que naverdade n˜o s˜o igualdades. Ou ainda, que precisam a a ser colocadas em seu devido contexto. Como um primeiro exemplo citamos a seguinte “igualdade”: 3 1 = (2) 3 9 Todos sabemos que estas n˜o s˜o fra¸oes iguais mas sim equivalentes, o que quer a a c˜ dizer que, 1 3 ∼ ⇔ 1·9= 3·3 (3) 3 9 Outros exemplos de “igualdades esp´ rias” encontramos quando do estudo u dos n´ meros complexos. A bem da verdade, umn´mero complexo ´ um par u u e ordenado de n´meros reais. Em livros-texto nos deparamos com igualdades u tipo, z = 1 + 2i = (1, 2) Ou, z = (1, 0) = 1 + 0i = 1 Estas “igualdades” s´ podem ser devidamente compreendidas dentro do cono ceito de isomorfismo entre estruturas alg´bricas, um assunto pertinente ` ´lgebra e aa moderna; aqui s´ chamamos a aten¸ao, nesta ultima igualdade, que ´ imposs´ o c˜ ´e ıvel (il´gico) um par ordenado ser igual a um n´ mero real. Por conseguinte, a rigor o u n˜o ´ correto dizer que os Reais s˜o subconjunto dos Complexos, uma vez que a e a estes “conjuntos” tˆm elementos de naturezas distintas. e Voltando ` igualdade (2) entre fra¸oes, talvez o leitor nunca − em toda a a c˜ sua vida − tenha sentido a necessidade de fazer distin¸ao entre igualdade e c˜equivalˆncia entre fra¸oes. Confesso que eu, uma unica vez senti esta necessie c˜ ´ dade, foi quando achei por bem corrigir uma quest˜o em um gabarito de um a cursinho. A quest˜o era mais ou menos assim: a

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“Encontre uma fra¸ao (pr´pria) x/y em que a soma do numerador com o c˜ o denominador seja 12 e o produto seja 27”. Para resolver esta quest˜o montamos o seguinte sistema: a x+y x·y cuja(a) (b) (c) (d) (e) = 12 = 27

solu¸ao ´: x = 3 e y = 9. Na prova foram dadas algumas alternativas: c˜ e − − −− − − −− − − −−
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N.R.A

No gabarito a resposta “correta” foi dada como sendo a letra ( d ), a fra¸ao c˜ equivalente da correta. Fiz ver que esta n˜o poderia ser a resposta porquanto a a fra¸ao x = 1 n˜o satisfaz o enunciado do problema (n˜o satisfaz o sistema). A c˜ y a 3 a...
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