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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA
DIRETORIA DE ENSINO
CURSO: ENGENHARIA ELÉTRICA
DISCIPLINA: ÁLGEBRA VETORIAL
PROFESSORES: MANOEL WALLACE

ALUNO(A):

MATRÍCULA:

2ª Lista de Exercícios
1)Determine o ângulo entre a e b :
a) a = ; b =

b) a = ; b =

c) a  4 i  8 j  3 k ; b  2 i  j  k .
2)Determine o vetor projeção e a projeção escalar de b sobrea :
a) a = ; b =

b) a = ;

b =

c) a  i  k ; b  i  j

d) a  2 i  3 j  k ; b  i  j  2 k .

3)Para que valores de b os vetores e são ortogonais?
4) Se u é um vetor unitário , determine u . v e u . w , sabendo que, nas figuras temos um triângulo
equilátero e um quadrado.
a)

b)
u
v

u

v
w

w

5)Para que valores de c o ângulo entre os vetores e é igual a 60o?
6)Determine os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor dado (aproxime o ângulo diretor até o
grau mais próximo):
a)

b)  8 i  3 j  2 k

c)

7) Um vetor a forma com os eixos Ox e Oy, respectivamente, os ângulos de 120o e 45o. Qual o ângulo
entre a e Oz?

8) Um vetor a tem dois de seus ângulos diretores dados por 60 o e 120o, com i e k , respectivamente.
Calcule ascoordenadas de a , sabendo que a  2 .

9) Sendo a 

1
6

(i 2 j  k ), b 

1
2

(i  k ) e c 

1
3

( i  j  k ) , verifique se a , b e c

formam uma base ortonormal e determine as coordenadas de w  3 i  2 j  2 k em relação a essa
base.
10) Dados u  j  k , v  2 i  j e w  i  k , verifique se u , v e w é base ortonormal e
determine as coordenadas de a  3 i  2 j 2 k nessa base.
11)Uma força constante com representação vetorial F  10 i  18 j  6 k , move um objeto em linha
reta do ponto (2, 3, 0) ao ponto (4, 9, 15). Calcule o trabalho realizado se a distância for medida em
metros e a magnitude da força for medida em Newtons.
12) Uma pessoa puxa um carrinho em terreno plano exercendo uma
força de 20 N sobre um puxador que forma um ângulo de 30o coma
horizontal. Ache o trabalho realizado ao puxar o carrinho por uma
distãncia de 100 metros.

30o

13)Resolva o problema 12 se o carrinho é puxado com a mesma força
por uma distãncia de 100 metros por uma ladeira acima que forma um
ângulo de 30o com a horizontal.
30o

30 o

14)Uma molécula de metano, CH4 , é estruturada com os quatro
átomos de hidrogênio nos vértices de um tetraedroregular e o
carbono no centro. O ângulo de vínculo é o ângulo formado
pela combinação H-C-H (é o ângulo entre as retas que ligam o
carbono a dois átomos de hidrogênio). Mostre que esse ângulo
de vínculo é de aproximadamente 109,5o. [Dica: tome os
vértices do tetraedro em (1, 0, 0), (0, 1, 0) , (0, 0, 1) e (1, 1, 1),
como mostrado na figura. Mostre então que o centro é ( ½ , ½,
½)].

15)Se a e b são vetores quaisquer mostre que:
a) | a  b | a b (Desigualdade de Schwarz)

z
H
C

H
H

H
x

y

b) a  b  a  b (Desigualdade Triangular)
2

2

 2 a  b

2
2


d) ( a  b )  ( a  b )   a  b 


2
2
1

e) a  b   a  b  a  b 
4


c) a  b

2

 ab

2





16)Usando métodos vetoriais demonstre o teorema dePitágoras.
2

17)Prove a recíproca do teorema de pitágoras , isto é, prove que se a equação a

2

 b

2

 ab

é

válida , então a e b são perpendiculares.
18) Mostre que as diagonais de um losango são perpendiculares.
19) Dados a , b e c tais que o ângulo entre dois quaisquer deles, nessa ordem, é 60o determine

a  b  c , sabendo-se que a  4 , b  2 e c  6 .
20) Sabendo-se quea  11 , b  23 e a  b  30 , determine a  b .
21) Sabendo que os vetores envolvidos são perpendiculares e que a  5 , b  12 , calcule a  b e
ab .

22) Que condições dois vetores a e b , não nulos, devem satisfazer para que o vetor a + b tenha a
direção da bissetriz do ângulo formado pelos mesmos.
23) Dados os pontos A(4, 0, -1), B(2,-2, 1) e C(1, 3, 2) e os vetores u  2, 1, 1) ,...
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