C Lculo I 008 Derivadas LHopital E Integrais

CENTRO UNNERSIT ÁRIO FEEV ALE - ICET
CÁLCULO I

Regra de L'Hopital e Integral

1. Formas lndeterminadas

e a Regra de L'Hopital

No estudo de limites encontramos, muitas vezes, indeterminações do tipo

.Q
O

e

00 .
00

Ao encontrarmos uma dessa formas indeterminadas, tentamos reescrever a expressão usando técnicas algébricas. No entanto, nem todos os limites envolvendo formas indeterminadas podem ser calculados por manipulação algébrica. Nestes casos, usamos um teorema conhecido como Regra de L 'Hopital.
Regra de L'Hopital
Teorema

Sejamfe g funções diferenciáveis em um intervalo aberto (a,b), com a possível exceção de um ponto c contido no intervalo. Se o limite f(x)

,quando x tende

g(x)
O

a c ou x tende a ± OC! , produz uma das formas indeterminadas -

O

· f(x) -1" f'(x)
I lm--- lm-x-->c

g(x)

x-->c

g'(x)

desde que o limite à direita exista.

Ex.l: Calcule

lim

e" -1

x

X40

Ex.2: Calcule

lnx

limX4CO

Ex.3: Calcule

x

x2 e lim--::::;X4-CO

Ex.4: Calcule

.

x2 -4x+ 4 x -x-2

lim-2--x42

36

e

lim f(x) x-->±oo g(x)

= lim x-->±oo f'(x) g' (x) ,

OC!

ou -,

00

~

entao

CENTRO UNIVERSITÁRIO FEEV ALE - ICET
CÁLCULO!
EX.5: Calcule

.

x-e-O

EX.6: Calcule

senx-x e +e- -2

hm---x
X

lime -x ~ x--c>oo Exercícios:
Determinar os seguintes limites com o auxilio das regras de L'Hojpital:

.J4-x2-2

1)

lim---x--c>O

X

2)

e

(1- x)

-

lim----'----'x--c>O

3)

X

lim ~nx

-1

x--c>! X

· ~
4)1lm-.x--c>o+

.

7)

12)

8)

7x5 -6

lim--:----2

x--c>+oo

4x - 2x + 4 x ln x

13)
-

3

+Tx

14)

lim="

l'1m x e x--c>+oo

x--c>O+

10)

lim

6) O

/ 2) 2

2

+5x

x
- cos x

lim(! __ x--c>O+ X

.

lnx x-1 1_)

sen x

15)
1lm-x--c>!

2) 2
3) 1/2
4) +00
5) 2/5
13) O 14) O 15)
1

x

-7t

x2 +6x

x--c>O X

-9) lim

sen 2x sen 5x

R: 1)0
12) 6/5

limx2lnx x--c>O"=- X

)1
51m-x--c>O

11) l'--cOS im x---'>JII2 (x

X

7) O

8) +00

9) O 10) O

11) -

00

INTEGRAL
2. Diferenciais
2.1. Acréscimo e Diferencial
Acréscimo
Seja y = .f(x) uma função. Podemos sempre