C Lculo IV Lista 1 1

FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

A figura da esquerda ilustra a interseção do cilindro de equação x 2  y 2  1 com o plano de equação y  z  2 . A figura da direita ilustra a elipse de equação vetorial

r t   cost , sent , 2  sent , t  0, 2  , que foi obtida pela interseção dessas superfícies.

1. A posição de uma partícula em movimento no plano xy, no instante t , é dada pelas equações paramétricas xt   e t e y  t   t  et .

a) Determine a função vetorial f t  que descreve o movimento desta partícula;

b) Onde se encontrará a partícula no instante t  0 e em t  2 ?
2. Esboçar os gráficos das seguintes funções vetoriais, identificando as curvas:
a) a  t    4  t  i   2t  j , t  0, 2 .

d) d  t   2  i  4  j  t  k , t  .

b) b  t   3cos  t  i  3sen  t  j  k , t  0, 2 .

e) e  t   2  i  2t  j  4t 2  k , t  0, 1 .

c) c  t   2 cos  t  i  4  j  4sen  t  k , t  0,  2 .

f) f  t   t  i  t  j  t  k , t  0 .

3. a) Considere as funções vetoriais f  t   t  a  t 2  b

e

g  t   t  i  sen  t  j  cos  t  k , com

a  i  j e b  2  i  j ; 0  t  2 . Calcule:


i) f t   g t  .



iii) f t   g t  .

ii) f  t   g  t  .

iv) a  f  t   b  g  t  .

b) Dadas as funções vetoriais

 f t   g t  , t  0 , 1.

f t   t  i  j

e

g  t  i  t , j esboçar o gráfico de

4. Uma partícula se desloca no espaço. No instante t  0 o seu vetor posição é dado por r  t   i  t  j  t 1  k .
a) Determinar a posição da partícula no instante t  1 2 e t  1 ;
b) Esboçar a trajetória da partícula.
5. Sejam f  t   t  i  2t 2  j  3t 3  k e g  t   2t  i  j  3t 2  k , t  0 funções vetoriais. Calcule:















a) lim f t   g t  . t 1



b) lim f t   g t  . t 1



c) lim f t   g t  . t 1

d) lim  t  1  f  t  . t 1

1

6. a) Calcule os limites:

 t  1 

ii) lim  i  t 
1
j