Analise Numerica

Faculdade de Computa¸˜o e Inform´tica ca a
An´lise Num´rica I a e

Ciˆncia da Computa¸˜o e ca

Turma 3N

Nome:

20/05/2009
Matr´
ıcula:

R´ brica ap´s vista: u o

Nota:

Instru¸˜es: Prova sem consulta, individual, pode ser a l´pis, uso permitido de calculadora. A interpreta¸ao das quest˜es ´ parte da co a c˜ o e
´ proibido o empr´stimo de material durante a prova. Use pelo avalia¸ao. Use o verso das folhas e se necess´rio pe¸a mais folhas. E c˜ a c e menos 7 A.S. Dura¸ao: 100’. c˜ Nas quest˜es a seguir, n ´ o resto da divis˜o da soma de todos os d´ o e a ıgitos do seu n´mero de matr´ u ıcula dividido por 10 (por exemplo, se o n´mero de matr´ u ıcula for: 406.0898–1, ent˜o: 4+6+8+9+8+1=36, a n = 36 % 10 = 6).
1. (2 pontos) Calcule a decomposi¸˜o LU da matriz A abaixo com li,i = 1: ca 

11 −1 n 6 −3 
A = LU =  2
−4
2
8

L=

U=




16
2. (1 pto) Resolva o sistema A x = b usando a decomposi¸˜o L U da quest˜o anterior, onde b =  13  . ca a
−14
Calcule os vetores x e y.

y=

x=

3. (2 pontos) Calcule as 3 primeiras itera¸˜es do m´todo de Gauss-Seidel para resolver iterativamente co e o 
1, 5 sistema Ax = b, A e b s˜o da quest˜o 1 e 2, respectivamente. Use como chute inicial x =  0, 5 . a a
−1, 5
Escreva as equa¸˜es iterativas usadas no c´lculo. co a
Equa¸˜es iterativas: co (k+1)

=

(k+1)

=

(k+1)

=

x1

x2 x3 Itera¸˜o ca (k) x1 x0
1,50000

(k)

x2

x3

0,50000

(k)

x1

-1,50000

x2 x3 4. (2 pontos) Use o m´todo de Newton-Raphson para determinar uma aproxima¸˜o da ra´ da equa¸˜o e ca ız ca abaixo. Use como chute inicial um valor calculado pela segunda itera¸˜o do m´todo da bissec¸˜o. O ca e ca intervalo de busca ´ [0, 1]. Calcule as 3 primeiras itera¸˜es. e co x3 =

f (x) =

(n + 1) −2x e 2 f (x) =

Itera¸˜o(i) ca 0

a

Bisec¸˜o ca b

pn

f (pn )

xi

Newton-Raphson f (xi )

f