A teoria dos limites

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A Teoria dos Limites (CÁLCULO)
CONCEITO DE LIMITES E DERIVADAS

Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu contadas limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela queencontrava a curva num único ponto.Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo detraçar uma tangente a um gráfico num dado ponto -esta dificuldade ficou conhecida na Históriada Matemática como o “Problema da Tangente”.Estas idéias constituíram o embrião do conceito de derivada e levou Laplace aconsiderar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial”. Contudo, Fermat nãodispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido. No séc. XVII Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal,introduzindo os conceitos devariável, constante e parâmetro, bem como a notação dx e dy para designar a menor possível dasdiferenças em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hojecomo “Cálculo Diferencial”.A Teoria dos Limites, tópico introdutório é fundamental da Matemática Superior.Portanto, o que veremos, será uma introdução à Teoria dos Limites, dando ênfaseprincipalmente ao cálculo de limites de funções, com base nas propriedades pertinentes.Matemático francês - Augustin Louis Cauchy – 1789/1857 foi, entre outros, umgrande estudioso da Teoria dos Limites. Antes dele, Isaac Newton, inglês, 1642/1727 e GottfriedWilhelm Leibniz, alemão, 1646/1716, já haviam desenvolvido o Cálculo Infinitesimal.
DEFINIÇÃO
Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a,b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor x
0, se para cada número positivo ε , por menor que seja, existe em correspondência um número positivo δ , tal que para |x – x0| <δ, setenha |f(x) - L | <ε , para todo x≠x0. Indicamos que L é o limite de uma função f( x ) quando x tende a x0, através dasimbologia abaixo: lim f(x) = Lx→x0
Exemplo: Prove,usando a definição de limite vista acima, que: lim (x + 5) = 8 x→3.Temos no caso: f(x) = x + 5 x 0= 3L = 8. Com efeito, deveremos provar que dado um ε > 0 arbitrário, deveremos encontrar um δ > 0, tal que, para |x - 3| < δ , se tenha |(x + 5) - 8| < δ . Ora, |(x + 5) - 8| < δ é equivalente ax- 3 | <ε.
Portanto, a desigualdade |x - 3| < δ , é verificada,e neste casoδ = δ. Concluímos então que 8 é o limite da função para x tendendo a 3 ( x δ 3) .O cálculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, é extremamentelaborioso e de relativa complexidade. Assim é que, apresentaremos as propriedades básicas, semdemonstrá-las e, na seqüência, as utilizaremos para o cálculo de limites de funções. Antes, porém,valem as seguintes observaçõespreliminares:
a) É conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando, x→x0, não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x0, pois quandocalculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queiramos do ponto x0, porém não coincidente com x0, ou seja, consideramos os valores da função navizinhança do ponto x0.Para exemplificar,consideremos o cálculo do limite da função abaixo, para x 3.Observe que para x = 3, a função não é definida. Entretanto, lembrando quex2- 9 = (x + 3) (x - 3), substituindo e simplificando, a função fica igual a f(x) = x + 3, cujo limite para x δ 3 é igual a 6, obtido pela substituição direta de x por 3.
b) o limite de uma função y = f(x), quando x→x0, pode inclusive, não existir,mesmo a função estandodefinida neste ponto x0, ou seja , existindo f(x0).4
c) ocorrerão casos nos quais a função f(x) não está definida no ponto x0, porémexistirá o limite de f(x) quando x→x0.
d) nos casos em que a função f(x) estiver definida no ponto x0, e existir o limite dafunção f(x) para x→x0 e este limite coincidir com o valor da função no ponto x0, diremos que afunção f(x) é Contínua no ponto x0.
e) já...
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