A origem da lingua portuguesa

Determinante
Determinante de uma matriz quadrada
É um escalar pertencente ao corpo Ω de definição dos elementos da matriz.

O cálculo do determinante de uma matriz de ordem n pode ser calculado com base:
. no Teorema de Laplace . no cálculo das permutações pares e ímpares de n objectos

ÁLGEBRA

Determinantes - 1

Determinante
Determinante de uma matriz quadrada
O determinante uma matriz A de ordem n sobre um corpo Ω é um escalar pertencente Ω, denotado por det(A) ou |A|, calculado por: 1. 2. 3. se A tem dimensão 1, det(A) = A11; se A tem dimensão 2, det(A) = A11 A22 -A12 A21; se A tem dimensão n, o determinante de A pode exprimir-se como a soma dos produtos de cada um dos elementos de uma fila de A (linha ou coluna) pelo determinante de uma matriz (n-1)×(n-1) obtida eliminando em A a linha e a coluna contendo o elemento em questão; antes da soma ser efectuada, as parcelas produto são afectadas de um sinal positivo ou negativo.

ÁLGEBRA

Determinantes - 2

Desenvolvimento Laplaciano
Cofactor ou complemento algébrico do elemento A21

A=

A11 A21 An1

A2 A22 An 2 A11 A21 An1 A2 A22 An 2

A1n A2 n Ann

= A21 (−1) 2+1

A11 A21 An1

A2 A22 An 2

A1n A2 n Ann A11 A21 An1

+

+ A22 (−1) 2+ 2

A1n A2 n Ann

+ ... + A2 n (−1) 2+ n

A2 A22 An 2

A1n A2 n Ann

Desenvolvimento Laplaciano ao longo da 2ª linha da matriz
ÁLGEBRA Determinantes - 3

Regra de Sarrus
Cálculo de determinantes de matrizes de ordem 3 a1 A = a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − c1b2 a3 − c2b3a1 − c3b1a2 c3

A regra de Sarrus só é válida para determinantes de 3ª ordem
ÁLGEBRA

+ a1 + a2 + a3 a1 a2

b1 b2 b3 b1 b2

c1 − c2 − c3 − c1 c2

+ a1 a2 a3 −

+ b1 b2 b3 −

+ c1 a1 c2 a2 c3 a3 −
Determinantes - 4

b1 b2 b3

Propriedades dos determinantes
D1 – Se a matriz B resulta da matriz A por troca de duas filas paralelas (linhas ou colunas), então

|B| = - |A|
D2 – Se a matriz B resulta da matriz A por multiplicação de cada um dos elementos de uma fila (linha ou coluna) por um escalar λ, então