A moreninha

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Universidade Estadual de Santa Cruz. Departamento de Ciˆncias Exatas. e Disciplina- Geometria Anal´ ıtica. Curso de Engenharia. Professores- Pryscilla Silva, Paulo Henrique, Nat´lia Pinheiro, Geraldo de Assis, Carlos Bi˜o. a a

Lista I
1. Calcule a soma C = (cij )3×3 das matrizes A = (aij )3×3 e B = (bij )3×3 tais que aij = i2 + j 2 e bij = 2ij.        1 7   2 1   0 2  2. Se A = , B =   eC =  determine X em cada uma 2 6 4 3 2 0 das equa¸oes abaixo: c˜ 1 (a) X + A = (B − C); 2 1 1 (b) (X − A − B) = (X − C). 2 3 3. Forne¸a exemplos de matrizes A, B e C tais que: c (a) CA = CB mas A = B. Nesse caso, verifica-se que n˜o vale a lei do cancelaa mento para multiplica¸ao de matrizes; c˜ (b) AB = BA. Assim vˆ-se que n˜o vale a propriedade comutativa para o produto e a dematrizes; (c) AB = O mas A = O e B = O, onde O ´ a matriz nula. e 4. Uma matriz quadrada A se diz ortogonal se A ´ invert´ e A−1 = At . e ıvel      seja ortogonal.  

1 0  √  2  0 (a) Determine x, y e z de modo que a matriz  2  x y

0 √ 2 2 z

1

 √  2 x  (b) Mostre que n˜o existem x e y reais de modo que a matriz  a √  seja y 2 ortogonal  5. A matriz X possui 3 linhas e 300colunas. Na primeira linha os componentes das colunas descritas por c = 1 + 12k, k = 0, 1, 2, ... s˜o iguais a um e os outros a s˜o iguais a zero. Na segunda linha os componentes das colunas descritas por a c = 1 + 18k, k = 0, 1, 2, ... s˜o iguais a um e os outros s˜o iguais a zero. Na terceira a a linha os componentes das colunas c = 1 + 8k, k = 0, 1, 2, ... s˜o iguais a um e os a outros iguais azero. Quantas das 300 colunas possuem os 3 componentes iguais a um? 6. Qual ´ o elemento localizado na segunda linha e terceira coluna da matriz A = e   a = √i, se i < n   in   ? (ain )3×3 definida por  ain = log(n), se i = n     a = in , se i > n in 7. A matriz C fornece, em reais, o custo das por¸oes de arroz, carne e salada usados c˜ num restaurante:  

 1  arroz   C =  3 carne     2 salada A Matriz P fornece o n´mero de por¸˜es de arroz, carne e salada usados na comu co posi¸ao dos pratos tipo P1 , P2 , P3 , desse restaurante: c˜



 2 1 1  prato P1   P =  1 2 1  prato P2     2 2 0 prato P3 2

salada 

arroz carne

Determine a matriz que fornece o custo de produ¸ao, em reais, dos pratos P1 , P2 , c˜ P3 e calcule o custo total de produ¸ao.c˜      1 2   3 −1  8. Dadas as matrizes A =  eB= , calcule: 1 0 0 1 (a) det A + det B; (b) det (A + B). 9. Calcule det At , onde:    0 2 2    (a) A =  1 1 3      3 −4 2 4 0 5    1 3 1  (b) A =   6 2  2  −1 −3 −1   x 10. Considere as matrizes reais A =  2
2



1



  0     0   0  

 0

 4 z   . Se A = B t , eB= y −x y+z    x y−1    calcule o determinante da matriz A =  z 1 1  .     4 5 2   2i − 3, se i < j     . =  i − j, se i = j     i + j, se i > j

11. Seja A = (aij ) a matriz quadrada de ordem 3, onde aij

Calcule o determinante de A. 12. Seja a matriz A = (a)ij , de ordem 2, em que aij =    sen[( π )(i + j)], se i = j 4   sen[x(i − j)], se i = j 1 Quantos n´meros reais x, tais que −2π < x< 2π, satisfazem a senten¸a det A = ? u c 4    1 1 1    13. A matriz A =  x 2 5  admite inversa se, e somente se:     2 x 4 25 (a) x = 5 (b) x = 2 (c) x = 2 e x = 5 3 (d) x = 4 e x = 25 (e) x = 4 .

14. Calcule os determinantes: 3 a ab a a2 b x xy x2 y (a) y yz xyz z xz x2 z d ad d 15. Calcule det A−1 , onde:  0 −i −2    1 −1 i  (a)A =    0 −1 1  1 1 1 d 21 73 0 54 49 (b)b bc b c cd c c b 16 51 0 42 47 (c) 2 9 13 0 19 17 27 0 25 35 5 0 4 7

i

   2 (b) A =  −1
−2 3

  1     −i   0

 5  

16. Considere o sistema de equa¸˜es linares: co   2x −3y  = 3 (1)    .  4x −5y +z = 7 (2)     2x −y −3z = 5 (3) (a) Encontre um sistema de equa¸˜es (1) − (2 ) − (3 ) equivalente a (1) − (2) − co (3) onde a equa¸˜o (2 ) ´ combina¸˜o linear...
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