A minha voda

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Teste Intermédio de Matemática A
Versão 2

Teste Intermédio

Matemática A
Versão 2
Duração do Teste: 90 minutos | 06.03.2013
11.º Ano de Escolaridade
Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de março

RESOLUÇÃO
GRUPO I

1. Resposta (D)
Os vetores

v
v
OP e u são perpendiculares se, e só se, OP . u = 0

Designemos por x a abcissa do ponto P
Então, as coordenadas do vetor

OP são ^ x, -5,1h

Portanto,

v
OP. u = 0 + ^ x, − 5,1h . ^2, 3, 7h = 0 + 2 x − 15 + 7 = 0 + x = 4

2. Resposta (C)
Designemos por
O vetor

r a reta definida por )

x=2
y=z

v
r ^0, 1, 1h é um vetor diretor da reta r

Um plano é perpendicular à reta r se, e só se, o vetor

v
r for perpendicular a esse plano.

Portanto, a equação do plano tem de ser equivalente a uma equação da forma
É o caso do plano definido pela equação

y+z =d

y+z =5

TI de Matemática A – Resolução – Versão 2 • Página 1/ 5

3. Resposta (C)

y

No intervalo ; 7 r , 5 r E, o seno toma todos os valores do
63
intervalo ; - 1, - 1 E . Portanto, as equações apresentadas
2

O

x

nas opções B e D têm solução.

1
−—
2

−1

No intervalo ; 7 r , 5 r E, o cosseno toma todos os valores do
63
intervalo = - 3 , 1 G
22
Tem-se

y



- 3 . - 0,87
2

:3
2

O

1

2x

Portanto, só a equação apresentada na opção C não tem solução.

4. Resposta (D)
As assíntotas do gráfico da função

f são as retas de equações x = −3 e y = 0

Como as assíntotas do gráfico de g são as retas de equações x = −2 e y = 2 , o gráfico de
do gráfico de f por meio da translação associada ao vetor de coordenadas ^1, 2h
Portanto,

g obtém-se

a = −1 e k = 2

5. Resposta (B)
Sabe-se queos gráficos das funções
sabe-se que f= g^3 h 0
^3 h =

f e g se intersectam no ponto de coordenadas (3, 0), ou seja,

Portanto, 3 é um zero comum às duas funções.
A função

g tem outro zero, que vamos designar por a

Dado que as duas funções têm domínio R , tem-se que:

•  ^ f= 0= 0 0 g^ xh = 0 +
+ f ^ xh
× g h^ xh
+x
0 ^x
= 3= a 0 x = 3h +
+x
0x
= 3= a
g
+ g ^ xh
• = 0= 0 / f^ xh ! 0 +
c m^ xh
f
+^ x a 0 x 3h / x ! 3 +
==
+x=a
Então,

•  a função f × g tem dois zeros: a e 3
•  a função

g
tem um zero: a
f
TI de Matemática A – Resolução – Versão 2 • Página 2/ 5

GRUPO II
1.1.1. O contradomínio da função

k = −1

f é R \ "- 1 , , pelo que a equação f ^ xh = k é impossível se, e só se,

1.1.2. Dado que a reta de equação y = −1 é assíntota horizontal do gráfico da função
quando x tende para+ 3 é igual a - 1

1.2.1.

f , o limite de f ^ xh

f ^ xh # 2 − x + 5 − x # 2 − x + 5 − x − 2 − x # 0 +
x−3 x+3
x−3 x+3
x+3
+

2
2
(5 − x) (x + 3) − (2 − x) (x − 3)
# 0 + 5 x +15 − x − 3 x − 2 x + 6 + x − 3 x # 0 +
( x − 3) ( x + 3)
x2 − 9

x
+ − 3 2 + 21 # 0
x −9
x

-3

-3

Numerador
Denominador
Fração

+
+
+

3

+
0
n.d.

+

-

+
0
n.d.

7
0
+
0

+
+
+

+3

+

-

n.d. – não definida

Conjuntosolução: @− 3, 3 6 , 67, + 3 6
1.2.2.

3
` f % g j^ xh = x + f ^ g (x)h = x + f ^ x 3h = x + 53− x = x
x −3

Na figura, estão representados:
3
•  o gráfico da função f % g , definida pela expressão 5 3- x
x -3
•  a reta de equação y = x

y
y=x
−1,36

x

O 1,56

f %g

•  os pontos de intersecção das duas linhas, cujas abcissas
são as soluções da equação ` f % g j^ x h = x
Portanto, as soluções daequação

` f % g j^ xh = x , arredondadas às centésimas, são -1,36 e 1,56

FG é perpendicular ao plano FAD, pelo que uma equação deste plano é da forma
3x − 6y + 2z + d = 0

2.1.1. O vetor

Como o ponto F tem coordenadas ^1, 3, - 4h , tem-se
Portanto,

3 × 1 + ^− 6h × ^ 3 h + 2 × ^ − 4h + d = 0

d = 23

Assim, uma condição cartesiana que define o plano FAD é

3 x − 6 y + 2 z + 23 = 0

TI deMatemática A – Resolução – Versão 2 • Página 3/ 5

2.1.2. Uma condição cartesiana que define a reta GF é

x −1 = y − 3 = z + 4
3
2
−6

2.1.3. A superfície esférica de centro no ponto F à qual pertence o ponto A tem raio igual a
Tem-se

FG

FG = FG = 3 2 + ^− 6h2 + 2 2 = 49 = 7

Assim, uma condição cartesiana que define a superfície esférica é ^ x − 1h2 + ^ y − 3h2 + ^ z + 4h2

2.2. O ponto E é o ponto...
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