a historia damatematica

Capítulo 11

1.

Equações da reta no espaço
Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os

contém. Então,
→
→
P ∈ r ⇐ existe t ∈ R tal que AP = t AB
⇒

Fig. 1: Reta r passando por A e B.

Como o ponto P pode ser visto como a translação do ponto A pelo
→
→ vetor AP , isto é, P = A + AP , a condição acima também se escreve:
→
P ∈ r ⇐ existe t ∈ R tal que P = A + t AB .
⇒
Assim, a reta r é caracterizada pela equação
→
r : P = A + t AB ; t ∈ R que é chamada equação paramétrica da reta r com parâmetro t.

Geometria Analítica - Capítulo 11

182

Equação paramétrica da reta em coordenadas
Seja OXY Z um sistema de eixos ortogonais no espaço e considere os pontos A e B em coordenadas: A = (a, b, c) e B = (a , b , c )
Escrevendo o ponto P em coordenadas, P = (x, y, z), temos:
P = (x, y, z) ∈ r
⇐
⇒ (x, y, z) = (a, b, c) + t(a − a, b − b, c − c) , t ∈ R
⇐
⇒ (x, y, z) = (a + t(a − a), b + t(b − b), c + t(c − c)) , t ∈ R
⇐
⇒ x = a + t(a − a) , y = b + t(b − b) , z = c + t(c − c) , t ∈ R .
Isto é, P = (x, y, z) ∈ r se, e somente se, suas coordenadas x, y e z satisfazem as equações paramétricas da reta r que passa por A =
(a, b, c) e B = (a , b , c ) (figura 1):

 x = a + t (a − a)

 r : y = b + t (b − b) ; t ∈ R


 z = c + t (c − c)

Exemplo 1
Determinar as equações paramétricas da reta r que contém os pontos
A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 1).
Solução.
→
→
O vetor AB tem coordenadas AB = (0 − 1, 1 − 0, 1 − 0) = (−1, 1, 1).
Logo,

 x = 1 + t(−1)

 r : y = 0 + t(1) ; t ∈ R,


 z = 0 + t(1)

ou seja,


 x =1−t


; t∈R r : y =t


 z=t

são as equações paramétricas da reta r .

Definição 1
→
→
Dizemos que uma reta r é paralela a um vetor v = 0 quando, para
→
→ quaisquer dois pontos A e B de r , o vetor AB é múltiplo de v .

IM-UFF

K. Frensel - J. Delgado

Geometria Analítica - Capítulo 11

183

Assim, o ponto P pertence à reta r que passa por A e