A função exponencial

A função exponencial
A função exponencial natural é a função exp.:R R+, definida como a inversa da função logaritmo natural, isto é:
Ln[exp(x)]=x, exp[Ln(x)]=x
O gráfico da função exponencial é obtido pela reflexão do gráfico da função Logaritmo natural em relação à identidade dada pela reta y=x. Como o domínio da função Logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos, então a imagem da função exp é o conjunto dos números reais positivos e como a imagem de Ln é o conjunto R de todos os números reais, então o domínio de exp também é o conjunto R de todos os números reais.

Observação: Através do gráfico de f(x)=exp.(x), observamos que:
1. exp(x)>0 se x é real)
2. 01 tal que a área da região do primeiro quadrante localizada sob a curva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja unitária, então o valor de v será igual a e.

Propriedades básicas da função exponencial
Se x e y são números reais e k é um número racional, então:
1. y=exp.(x) se, e somente se, x=Ln(y).
2. exp.[Ln(y)]=y para todo y>0.
3. Ln[exp.(x)]=x para todo x real.
4. exp(x+y)=exp(x) exp(y)
5. exp(x-y)=exp(x)/exp(y)
6. exp.(x.k)=[exp.(x)]k

Simplificações matemáticas
Podemos simplificar algumas expressões matemáticas com as propriedades das funções exponenciais e logaritmos:
1. exp.[Ln(3)]=3.
2. Ln[exp.(20x)]=20x.
3. exp.[5.Ln(2)]=exp.[Ln(25)]=25=32.
4. exp.[2+5.ln(2)]=exp.(2)exp.(5.Ln(2))=32e².

Outras funções exponenciais
Podemos definir outras funções exponenciais como g(x)=ax, onde a é um número real positivo diferente de 1 e de x. Primeiro, consideremos o caso onde o expoente é um número racional R.
Tomando x=ar na equação x=exp.[Ln(x)], obtemos: ar=exp.[Ln(ar)] Como Ln[ar]=r.Ln(a), a relação acima fica na forma: ar = exp.[r.Ln(a)]
Esta última expressão, juntamente com a informação que todo número real pode ser escrito como limite de uma sequência de números racionais, justifica a definição para g(x)=ax, onde x é um número real:
ax=exp.[x.Ln(a)]