Zzzzzzzzzzzzzzzzzzz

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 11 (2526 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 24 de outubro de 2012
Ler documento completo
Amostra do texto
UTFPR- UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL TOLEDO PARANÁ PROCESSOS QUÍMICOS

INTEGRAL INDEFINIDA E DEFINIDA

Material elaborado pelo Prof Francisco Leal Moreira - Prof Sérgio p

INTEGRAL INDEFINIDA
Em matemática, cada vez que definimos uma operação, pensamos na sua operação inversa, que desfaz o efeito da primeira. Assim, a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é a operaçãoinversa da multiplicação e a extração da raiz quadrada é a inversa da operação que eleva ao quadrado. Estamos agora interessados na operação inversa da derivação. DERIVAÇÃO

F

F’= f

PRIMITIVAÇÃO

1. PRIMITIVA
Uma função F é chamada de primitiva de uma função f em um intervalo I se F’(x) = f(x), ∀x ∈ I .

Exemplos:

As funções dadas por F1(x) = x2, F2 (x) = x2 + 1, F3(x) = x2 – 1 sãoprimitivas da função dada por f(x) = 2x. A função f possui infinitas primitivas que podem ser representadas por F(x) + k chamada de primitiva geral ou integral indefinida da f que é notada por

∫ f(x)dx ou seja ∫ f(x)dx = F(x) + k.

2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA
A integral indefinida de uma função f é representada geometricamente por uma família de curvas que em pontos demesma abscissa possuem retas tangentes paralelas.
Exemplo: 2xdx = x 2 + k



53

E1) Determine: 1) 2xdx



2) 5dx



3) 3x 2 dx



4)

∫ (5x

4

+ 4x 3 )dx

3. REGRAS DE INTEGRAÇÃO
1.

∫ cf(x)dx = c∫ f(x)dx , sendo c uma constante ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
∫ dx = x + k

2.

3.

4.

∫e

x

dx = e x + k

5.



dx = ln | x | + k x6.

∫ sen xdx = − cos x + k ∫ cos xdx = sen x + k

7.

E2) Encontre: 1) 2dx



2)

∫ (3 + e

x

)dx

2 3) (1 − )dx x



4) edx



5)

∫ (ln2 − 5e
∫ (3e + e
x

x

)dx

4 2 6) ( − )dx 5 3x



7) (π − 2e + ln 6)dx 10)



8) 11)

)dx

9) ( 12)



2x − 3 )dx x

∫ (cos x − sen x)dx

∫ (3 cos x + 6)dx

∫ (1 + 5 sen x)dx

54

8.

∫x p dx =

x p +1 + k , sendo p ≠ -1 p +1

E3) Encontre: 1)

∫ 3x

2

dx

2)

∫ (2x ∫

3

4

- x 3 + 3x 2 - x + 2)dx

3)

∫ (x

5

- 2x 3 + 5x - 3)dx

4)

∫ 3x


dx
2

5)

x dx

6)



dx x 2 3
2

7)

x x dx 5 2x
2

8)
3 x

x dx x

9)

∫(x + x ∫
1 3x 2

)dx

10)



(



)dx 4

11)



x 3 + 2x − 1 dx x2

12) (− x )dx

9.

Se u = f(x) , u p u ' dx =



u p +1 + k , se p ≠ −1 p +1

E4) Encontre: 1)

∫ (3x − 1)

4

3dx

2)

∫ (3x − 1)

4

dx

3) (1 - x) 5 dx



10.

Se u = f(x) ,

∫e

u

u ' dx = e u + k

E5) Encontre: 1)

∫e

4x

4dx

2)

∫e

4x

dx

3) e -x dx



11.

Se u = f(x) ,



u ' dx = ln | u | + k u

E6) Encontre: 1)

∫x2x
2

dx −3

2)

∫x

x
2

dx −3

3)

∫ 5x + 2dx

1

55

12.

Se u = f(x) ,

∫ sen u.u' dx = − cos u + k

E7) Encontre: 1)

∫ sen 4x.4dx

2)

∫ sen 4x .dx

3) sen(-x).dx



13.

Se u = f(x) ,

∫ cos u.u' dx = sen u + k

E8) Encontre: 1)

∫ cos(x

2

− 3).2 xdx

2)

∫ cos(x

2

− 3).xdx

3) cos(5x + 2)dx



E9) Encontre: 1) (2x− 1) 3 2dx



2)



x 2 − 1. 2 xdx dx

3)

∫ (3x

2

+ 4) 5 xdx

4)



xdx 5−x
2

5)

∫ (1 − x)


dx

4

6)

∫ (x

xdx
2

+ 2) 3 dx

7)




xdx
3

3− x

2

8)

2x − 1 e 3x −1dx dx

9)

∫ (2x + 3) ∫x
x 2 dx
3

5

10)

5 3 ⎞ ⎛ x + ⎜ 3e − ⎟dx 2x x 2 ⎠ ⎝ 2dx
x −1

11)

12)

+1
x 2 +3

13)

∫e

14)

∫ 4x − 215)

∫ 3xe ∫e
dx
x

dx

16)

∫x

20 xdx
2

+ 10
2

17)



x

5e 2 dx

18)

19) 22)

∫ x cos x ∫e
cos x

.dx

20) 23)

∫ sen 3x.dx ∫ tg x.dx

21) 24)

∫ sen

5

x. cos x.dx

. sen x.dx

∫ cot g x.dx

56

E10) Determine a equação da curva y = f(x) que passa pelo ponto P, sabendo que: 1) P(2,1) e f ’(x)= 2x 4) P(0,-2) e f ’(x) = ex – 2 2)...
tracking img