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Análise Matemática
Módulo 3
Séries numéricas: definições e exemplos.

1. Séries Numéricas.
É chamado de série infinita ou simplesmente série a soma de todos os termos de uma sequência infinita.
A indicação de uma série por ser feita da seguinte maneira:


S = lim Sn ou S = n 

a

n

n 1

Se o valor de S for um valor finito a série é convergente; caso contrário é divergente.
Algumas séries apresentam nomes especiais e métodos para determinar a o seu valor S.
Exemplo 1 – módulo 3 – Análise Matemática
Desenvolva os termos da série:


1

 n.(n  1) n 1

Solução: atribuindo os valores de n = {1; 2; 3; .....; } temos


1
1 1 1 1
       0
2 6 12 20 n 1 n.( n  1)

S 

Exemplo 2 – módulo 3 – Análise Matemática
Desenvolva os termos da série:


1

1 

  n  n  1

 n 1

Solução: atribuindo os valores de n = {1; 2; 3; .....; } temos


1   1 1 1 1 1 1 1
1
S   
  1                0  0  n  1  2   2 3   3 4   4 5  n 1  n
2. Série encaixante ou telescópica.
A série do exemplo 2 – módulo 3 é uma é do tipo encaixante ou telescópica porque ao efetuarmos a soma o valor -1/2 do 1º termo anula com 1/2 do 2º termo, -1/3 do 2º termo anula com 1/3 do 3º termo, -1/4 do do 3º termo anula com 1/4 do 4º termo e assim indefinidamente restando apenas o valor 1 do 1º termo. Logo:


1 
1
S   
 1 n 1 n 1  n
Algumas séries só percebemos que são encaixantes quando decompomos o seu termo geral usando a técnica de frações parciais. Veja o exemplo seguinte.
Exemplo 3 – módulo 3 – Análise Matemática
Decomponha o termo geral da série abaixo em frações parciais e verifique se a mesma pode ser chamada de encaixante.

Análise Matemática – módulo 3 - Pag.1

Solução: devemos utilizar para as frações parciais cujos denominadores forneça o mmc (mínimo múltiplo comum) forneça o denominador n(n+1) para facilitar o solução do sistema