Volumes

8.2- Volume de Sólidos de Revolução Uma região tridimensional (S) que possui as propriedades a) e b) a seguir é um sólido: a) A fronteira de S consiste em um número finito de superfícies lisas que se interceptam num número finito de arestas que por sua vez, podem se interceptar num número finito de vértices.

b) S é uma região limitada. Exemplos de sólidos (esfera, cone circular, cubo, cilindro)

8.2.1- Sólidos de Revolução - Método do Disco Um sólido de revolução se forma da seguinte maneira: Dada uma região R plana e l uma linha reta que pode tocar ou não em R e que esteja no mesmo plano de R. Girando-se R em torno de l, forma-se uma região chamada de sólido de revolução. S R

l
Área plana 1 Girando o gráfico de uma função f(x) tem-se: y = f(x) a b

l

Sólido gerado pela Rotação.

y x

r=f(x)=y

dV = πr2 dx dV = π[f(x)]2 dx V = π ∫ [f ( x )]2 dx a b

Área plana 2

Cálculo do elemento de volume

Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni

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Exercícios 1) Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região sob a função y = f(x) = x3, no intervalo [1,2].

y y = x3

(2,8)

(2,8)

(1,1) (1,1) R

r x

1 Área plana 3

2

x

Elemento de volume

V=π ∫ [ f ( x )] 2 dx = π ∫ [ x 3 ] 2 dx =π ∫ x 6 dx =π
1 1 1

2

2

2

 27 17  127 x7 2  =π   7 − 7  = 7 π =18,143π=56,99(unid vol) 7 1  

2) Achar o volume gerado pela função f(x) =

a 2 − x 2 em [-a, a] a2 − x2 = r

y y=

-a
Semi-círculo em rotação

a

x
Sólido gerado pela rotação do semi-círculo

a a 2  x3  a V = π ∫ [ f ( x )] 2 dx = π ∫ [ a 2 − x 2 ] 2 dx =π ∫ [ a 2 − x 2 ] dx =π a 2 x −  3 −a    1 −a −a

 a3   a 3    = π a 3 −  − − a 3 +   = π 3   3      
3   3  6 a − 2a  4 3 =π   = πa 3   3   que é o volume da esfera gerada!!!

3   a3   3 a + a3 − a −  =π 3 3    

3    3 2a   2a −  3   