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8.2- Volume de Sólidos de Revolução Uma região tridimensional (S) que possui as propriedades a) e b) a seguir é um sólido: a) A fronteira de S consiste em um número finito de superfícies lisas que se interceptam num número finito de arestas que por sua vez, podem se interceptar num número finito de vértices.

b) S é uma região limitada. Exemplos de sólidos (esfera, cone circular, cubo,cilindro)

8.2.1- Sólidos de Revolução - Método do Disco Um sólido de revolução se forma da seguinte maneira: Dada uma região R plana e l uma linha reta que pode tocar ou não em R e que esteja no mesmo plano de R. Girando-se R em torno de l, forma-se uma região chamada de sólido de revolução. S R

l
Área plana 1 Girando o gráfico de uma função f(x) tem-se: y = f(x) a b

l

Sólido gerado pelaRotação.

y x

r=f(x)=y

dV = πr2 dx dV = π[f(x)]2 dx V = π ∫ [f ( x )]2 dx
a b

Área plana 2

Cálculo do elemento de volume

Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni

141

Exercícios 1) Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região sob a função y = f(x) = x3, no intervalo [1,2].

y y = x3(2,8)

(2,8)

(1,1) (1,1) R

r x

1 Área plana 3

2

x

Elemento de volume

V=π ∫ [ f ( x )] 2 dx = π ∫ [ x 3 ] 2 dx =π ∫ x 6 dx =π
1 1 1

2

2

2

 27 17  127 x7 2  =π   7 − 7  = 7 π =18,143π=56,99(unid vol) 7 1  

2) Achar o volume gerado pela função f(x) =

a 2 − x 2 em [-a, a] a2 − x2 = r

y y=

-a
Semi-círculo em rotação

a

x
Sólido geradopela rotação do semi-círculo

a a 2  x3  a V = π ∫ [ f ( x )] 2 dx = π ∫ [ a 2 − x 2 ] 2 dx =π ∫ [ a 2 − x 2 ] dx =π a 2 x −  3 −a    1 −a −a

 a3   a 3    = π a 3 −  − − a 3 +   = π 3   3      
3   3  6 a − 2a  4 3 =π   = πa 3   3   que é o volume da esfera gerada!!!

3   a3   3 a + a3 − a −  =π 3 3    

3    3 2a   2a −  3    Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni

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Uma região plana pode ser girada em torno do eixo y ao invés do eixo x, e novamente um sólido de revolução será gerado. y y

b R x = g(y) dy a
Área plana girando em y

r = x = g(y) dV x

x

Sólido de revolução da área plana em torno de y que é o volume do sólido

b b 2 2 V = π ∫ [g ( y)]dy = π ∫ r dy a a Exercícios

1) Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno do eixo de y, no intervalo [0,4].

y
4

y y = x2 x= y

0

2

x

x

Sólido gerado pela Parábola de revolução

Seção plana parábola girando em y V = π ∫ [ g( y )] 2 dy = π ∫ r 2 dy = π ∫ [ y ] 2 dy = π ∫ ydy =
a a 0 0 b b 4 4

πy 2 4 π 42 = − 0 = 8π 2 2 0

V = 8π = 25,13 unid. devol. O Método do Disco pode ser estendido para o Método dos Anéis Circulares. Este método surge quando a área de revolução é limitada por duas funções f(x) e g(x), tal que f(x) > g(x), para todo x∈[a,b].

Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni

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y

f(x)

y dx

Anel projetado

g(x) g(x) x a b x
f(x)

dV
Área plana em revoluçãoSólido gerado pela revolução

O elemento de volume do anel é dado por: dV = π [f(x)]2dx - π [g(x)]2dx = π { [f(x)]2 - [g(x)]2} dx de forma que o volume todo é dado por: V=
2 2 ∫ dV = π ∫ [ f ( x )] − [ g( x )] dx a a b b

{

}

Note que o vão interno é descontado pela subtração dos dois volumes. Exercício 1) Calcular, usando o método dos anéis circulares, o volume formado pela rotação daregião entre y = x2 e y = x + 2. y y (2,4) y = x +2 (-1,1)

R

x x
Área entre parábola e reta em revolução. Sólido de revolução Sol: Faço f(x) = x + 2 e g(x) = x (pois f(x) > g(x)) Pontos de Intersecção: f(x) = g(x) → x2 = x + 2, isto é: Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni 144
2

x2 - x - 2 = 0 (x' = -1 e x'' = 2) e
b 2

(y' = 1 e y'' =...
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