Vetores

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Vetores



Produto escalar
Produto vetorial
Produto misto






Módulo de um vetor e vetores unitários
O módulo ou comprimento do vetor v=(x,y,z) é definido por:
[pic]
Um vetor unitário é o que tem o módulo (comprimento) igual a 1.
Exemplo: Existe um importante conjunto com três vetores unitários de R³.
i = (1,0,0);   j = (0,1,0);   k = (0,0,1)
Estes três vetores formam a basecanônica para o espaço R³, o que significa que todo vetor no espaço R³ pode ser escrito como combinação linear dos vetores i, j e k, isto é, se v=(a,b,c), então:
v = (a,b,c) = a i + b j + c k
Para obter um versor de v, isto é, um vetor unitário com a mesma direção e sentido que um vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:
u = v / |v|
Para construir um vetor w paralelo a umvetor v, basta tomar v multiplicado por um escalar, isto é:
w = k v
As três projeções ortogonais do vetor v=(a,b,c) sobre os planos X=0, Y=0 e Z=0, são respectivamente, dadas por:
vx=(0,b,c);    vy=(a,0,c);    vz=(a,b,0)


Produto escalar
Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto escalar (produto interno) entre v e w, como o escalar real:
v.w = v1w1 + v2w2 + v3w3Exemplos:
O produto escalar entre v=(1,2,5) e w=(2,-7,12) é:
v.w =
O produto escalar entre v=(2,5,8) e w=(-5,2,0) é:
v.w =



Propriedades do produto escalar
Quaisquer que sejam os vetores u, v e w e o escalar k:
(PE1) v.w = w.v
(PE2) v.v = |v| |v| = |v|²
(PE3) u.(v + w) = u.v + u.w
(PE4) (k v).w = v.(k w) = k (v.w)
(PE5) |k v| = |k| |v|
(PE6) |u.v| < |u|.|v|(desigualdade de Schwarz)
(PE7) |u+v| < |u|+|v|
(desigualdade triangular)


Ângulo entre dois vetores (Produto Escalar)
O produto escalar entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:
|v.w = |v| |w| cos(t) |[pic] |


onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w. Observamos que este ângulopode ser maior ou igual a zero, mas deve ser menor do que 180 graus (pi radianos). Com esta última definição, podemos obter o ângulo t, através do cosseno deste argumento t.
cos(t) = (v.w) / (|v|.|w|)



Vetores ortogonais
Dois vetores v e w são ortogonais se o produto escalar entre ambos é nulo, isto é, v.w=0.


Significado físico do produto escalar

Se um ponto material se desloca de0 até 1 sob ação de uma força F constante, então o produto escalar de F pelo vetor 1 é o trabalho executado por essa força, como exemplifica a figura abaixo.
[pic]

Produto vetorial
Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto vetorial entre v e w, denotado por v×w, como o vetor obtido pelo objeto matemático que não é um determinante mas que pode ser calculado como sefosse um determinante.
u × v = [pic]
Exemplo: Dados os vetores v=(1,2,3) e w=(4,5,6),
u × v = [pic]= (-3,6,-3)
O produto vetorial entre v e w é dado, então, por
v×w=-3i+6j-3k=(-3,6,-3).
Observamos que o produto vetorial é um vetor em R³.
Tomando i=(1,0,0) e j=(0,1,0), que estão no plano do z=0, o produto vetorial destes dois vetores será v×w=(0,0,1) que é um vetor que está fora deste plano, daía razão deste produto também ser denominado de exterior.
[pic]
Em geral, o produto vetorial v×w é um vetor ortogonal a v e também ortogonal a w, isto é, o produto vetorial é ortogonal ao plano que contém os dois vetores v e w.
Propriedades do Produto Vetorial
(PV1) v × w = - w × v
(PV2) u × (v + w) = u × v + u × w
(PV3) k (v × w) = (k v) × w = v × (k w)
(PV4) i × i = j ×j = k × k = 0(PV5) i × j = k, j × k = i, k × i = j
(PV6) Se v×w=0 (v e w não nulos) então v e w são paralelos

Ângulo entre dois vetores (produto vetorial)
O produto vetorial entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:
v × w = |v| |w| sen(t) U
onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w, e U é um vetor unitário que é paralelo ao produto vetorial v x w, logo U é perpendicular a v e também a w....
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