Vetores

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LIVRO

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Os Espaços Vetoriais
META Promover a identicação de vetores no plano e no espaço e suas propriedades. OBJETIVOS Decompor um dado vetor relativamente a uma base de vetores. Estabelecer a igualdade entre vetores. Reconhecer propriedades entre vetores, como o paralelismo. PRÉ-REQUISITOS Para seguir avante nesta aula, é necessário que você tenha compreendido os conceitos apresentados naaula anterior.

AULA

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Os Espaços Vetoriais
2.1 Introdução

Olá! Que bom encontrá-lo novamente! Espero que tenha gostado da nossa primeira aula. Nela denimos o objeto geométrico, vetor e algumas de suas propriedades. Nesta aula, iremos identicar e localizar pontos no plano (bidimensional) e no espaço (tridimensional). Veremos que é possível decompor um dado vetor (no plano ou no espaço) com umacombinação (linear) de outros vetores. Vericaremos também que propriedades algébricas inerentes às operações entre vetores acarretam em propriedades geométricas sobre esses, como por exemplo, a existência de um elemento neutro aditivo que implica um elemento neutro na soma de vetores, a saber, o vetor nulo.
2.2 Decomposição de um vetor no Plano (R2 )

Dados dois vetores não colineares (ver Aula1) v1 e v2, qualquer vetor v pode ser decomposto dependendo de v1 e v2. Para isso, devemos encontrar a1, a2 ∈ R, tal que
v = a1 v1 + a2 v2

(2.1)

Exemplo 2.2.1. Sejam v1 e v2 vetores não colineares e v qualquer
vetor no mesmo plano de v1 e v2.

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Vetores e Geometria Analítica: Livro 1 Exemplo 2.2.2. No caso em que o vetor v tiver a mesma direção
de v1 ou de v2 , v não é a diagonal doparalelogramo e um dos números reais a1 ou a2 é nulo.

2 AULA

Neste caso, o número a1 = 0, e a partir de v = a1 v1 + a2 v2 , temos que
v = 0 · v1 + a2 v2 ⇒ v = a2 v2 .

Denição 2.9.
1. Dizemos que v é a combinação linear de v1 e v2 sempre que v for representado como em (2.1). 2. O par de vetores v1 e v2 não colineares é chamado de base no plano. 3. Os números reais a1 e a2 de (2.1) são chamadoscomponentes ou coordenadas de v em relação à base {v1, v2}. Por conveniência, sempre tomamos as bases ortonormais. Denição 2.10. Uma base {e1, e2} é considerada ortonormal se os seus vetores forem ortogonais (isto é , e1 ⊥ e2 ) e unitários (ou seja, |e1 | = |e2 | = 1). Observação 3. Embora tenhamos denido uma base ortonormal como um conjunto, iremos pensá-la como um conjunto ordenado,
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Os EspaçosVetoriais
isto é, numa base base é

β = {e1 , e2 }, e2 .

temos que o primeiro elemento da

e1

e o segundo,

Exemplo 2.2.3.
no plano

Considere a base ortonormal ilustrada na gura(2.17),

xOy ,

e um vetor

v

cujas componentes são 2 e 4.

Figura 2.17:

v2

e

v2

são ortonormais.

Notação .
1

Consideraremos, de agora em diante, que os vetores

com extremidades na origem e nos pontos (1,0) e (0,1)serão representados por

i

e

j

respectivamente. Isto é,

(1, 0) = i

e

(0, 1) = j.

Tendo uma base xada, podemos fazer uma correspondência biunívoca entre os pares ordenados res. Desta forma,

(x, y)

do plano (

R2 )

e os veto-

v = (x, y)
é a e

expressão analítica y ordenada
como .

de

v.

Assim, nomeamos

x como

abcissa

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Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

2 AULA

Figura2.18: i e j como base para o plano R2 .
v = (2, −3) ∈ R2 .

Figura 2.19: Neste caso, o vetor arbitrário v = xi + yj , em que x, y ∈ R, são as componentes de v em relação à base {i, j}.

Exemplo 2.2.4. Seja v = 2i + (−3)j , podemos representar por
Perceba que,
2i = (2, 0), (−3)j = (0, −3) e

assim

v = 2i + (−3)j = (2 + 0, 0 + (−3)) = (2, −3)

2.3 Igualdade e Operações

2.3.1 Igualdade
Os vetores u =(x1 , y1 ) e v = (x2 , y2 ) são iguais se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2 , e assim, u = v .

Exemplo 2.3.1.

Os vetores u = (2, 1) e porém, p = (2, 1) e q = (1, 2) não o são.

v = (2, 1)

são iguais,

2.3.2 Operações
Sejam os vetores u = (x1 , y1 ) e v = (x2 , y2 ) e λ ∈ R, dene-se:

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Os Espaços Vetoriais
1. u + v = (x1 + x2 , y1 + y2 ); 2. λu = (λx1 , λy1 ).

Exemplo 2.3.2. Sejam os...
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