Vetores e matrizes na engenharia e na matemática; espaço n-dimensional

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CAPÍTULO

Os vetores são usados na navegação e no estudo de forças e do
movimento. Vetores em dimensões maiores ocorrem em campos tão diversos como a Genética, a Economia, a Cristalografia e
a Ecologia. Os vetores também
são utilizados na Teoria da Relatividade para ajudar a descrever a
natureza da gravidade, do espaço
e da matéria.

1

Vetores

Seção 1.1

Vetores e Matrizes naEngenharia e na
Matemática; Espaço n-Dimensional

As duas espécies de quantidades com as quais se ocupa a Álgebra Linear são os “vetores” e as “matrizes.” O termo “vetor” tem vários significados na Engenharia, na Matemática e nas Ciências, alguns dos quais serão discutidos nesta seção. Começaremos revendo a noção geométrica de vetor, tal como é usada na Física e na Engenharia básicas; em seguida,discutiremos vetores em sistemas de coordenadas bidimensionais e tridimensionais e depois consideraremos como a noção de vetor pode ser estendida para espaços de dimensões superiores. Finalmente, falaremos um pouco sobre matrizes, explicando como elas aparecem e como se relacionam com vetores.

ESCALARES
E VETORES

Os engenheiros e os físicos fazem uma distinção entre dois tipos dequantidades físicas: os escalares, que
são quantidades que podem ser descritas simplesmente por um valor numérico, e os vetores, que requerem
não só um valor numérico, mas também uma direção e um sentido para sua descrição completa. Por exemplo, a temperatura, o comprimento e a rapidez são escalares porque são completamente descritos por um
número que diz com “quanto” estamos tratando: digamos, umatemperatura de 20°C, um comprimento de
5 cm ou uma rapidez de 10 m/s. Por outro lado, velocidade, força e deslocamento são vetores porque envolvem, além de um valor numérico, uma direção e um sentido:
• Velocidade: sabendo que um navio tem uma rapidez de 10 nós (milhas náuticas por hora, a maneira tradicional de medir rapidez na água) podemos dizer quão rápido o navio se desloca, mas não
em quedireção está indo. Para traçar um curso, o marinheiro precisa saber a direção e o sentido
além da rapidez do barco, digamos, 10 nós na direção nordeste da bússola (Figura 1.1.1a). A rapidez, ou velocidade escalar, junto com uma direção e um sentido, formam uma quantidade vetorial
denominada vetor velocidade.
• Força: quando uma força é aplicada a um objeto, o efeito resultante depende da magnitudeda força e da direção e sentido em que é aplicada. Por exemplo, embora as três forças de 10 kgf da Figura 1.1.1b tenham a mesma magnitude, elas têm efeitos diferentes sobre o bloco por causa das diferenças em suas direções e sentidos. Junto com uma direção e um sentido, a força forma uma
quantidade vetorial denominada vetor força.
• Deslocamento: se uma partícula se move ao longo de um caminho deum ponto A a um ponto B
no plano (espaço bidimensional) ou no espaço (espaço tridimensional), então a distância em linha
reta entre A e B, junto com a direção entre A e B e o sentido de A para B formam uma quantidade
vetorial denominada vetor deslocamento de A a B (Figura 1.1.1c). O vetor deslocamento descreve a mudança posicional da partícula sem levar em conta o particular trajeto que apartícula percorre entre as posições inicial e final.
Vetores no plano (espaço bidimensional) ou no espaço (espaço tridimensional) podem ser representados geometricamente por setas: o comprimento da seta é proporcional à magnitude (ou parte numérica) do
vetor e a direção e sentido da seta indicam a direção e sentido do vetor. A origem da seta é denominada ponto inicial do vetor e a extremidade daseta é o ponto final do vetor (Figura 1.1.2). Neste livro vamos denotar

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Capítulo 1



Vetores

B

10 nós
N
O

10 kgf

E

10 kgf

S

10 kgf

45°
A
Deslocamento de A para B

(a)

( c)

(b )

Figura 1.1.1

vetores com letras minúsculas em negrito, como a, k, v, w e x, e escalares com minúsculas em itálico, como
a, k, v, w e x. Se um vetor v tem ponto...
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