Variáveis complexas

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Cálculo Avançado A - Variáveis Complexas

CAPÍTULO VI – VARIÁVEIS COMPLEXAS
Neste capítulo, estudaremos as funções de variáveis de complexas, bem como limites, continuidade, derivação e integração destas funções, analisando as diferenças e as semelhanças com o cálculo de funções de uma variável real.

1. FUNÇÃO COMPLEXA:
Seja uma variável complexa, z = x + j y , onde x e y são númerosreais. Consideremos ainda a variável complexa w = u + jv , onde u e v são números reais. Vamos supor que z está num plano, o qual chamaremos de z-plano (domínio) e que w está em outro plano complexo chamado de w-plano (imagem). Vamos ainda supor que existe uma regra que associa cada ponto do z-plano (ou uma porção deste) com um ponto no w-plano. Desta forma dizemos que w é uma função de z , e podemosescrever este fato simbolicamente como:

w = f (z ) .

(1.1)

Se a cada z corresponde um único valor de w, então a função é dita unívoca ou univalente ou simplesmente função. Entre essas encontramos as funções racionais, exponenciais, trigonométricas e hiperbólicas. Uma função que não é unívoca é dita plurívoca ou multivalente. As inversas das funções exponenciais, trigonométricas ehiperbólicas, bem como as funções potência não inteira são funções multivalentes e não serão estudadas aqui. Para maiores informações vide referências. “A menos que se afirme em contrário iremos supor que todas as funções consideradas são unívocas”. OBSERVAÇÃO : Devemos notar que o z-plano e o w-plano são geometricamente similares, sendo muitas vezes considerados o mesmo plano. Uma função complexa semprepode ser decomposta nas suas partes real u ( x, y ) e imaginária

v(x , y ) . Por exemplo, vamos decompor a função
f (z ) = z 2 + z + 1
em sua parte real e imaginária, substituindo a definição z = x + j y em f(z), obtendo-se que: w = f (z ) = (x + jy )2 + x + jy + 1 = x 2 − y 2 + x + 1 + j(2 xy + y ) 1 (1.2)

(

)

(1.3)

Cálculo Avançado A - Variáveis Complexas

e assim:
 u (x , y) = x 2 − y 2 + x + 1   v(x , y ) = 2xy + y 

(1.4)

Se quiséssemos o contrário, isto é, dada a função f (z ) = x 2 − y 2 + x + 1 + j(2 xy + y )

(

)

(1.5)

para encontrarmos a função escrita em termos de z e z , devemos usar as propriedades do conjugado de um número complexo, ou seja,
x= z+z 2 e y= z−z 2j

(1.6)

Transformação: Propriedades de uma função real f(x), de umavariável real x, são demonstradas geometricamente pelo gráfico da função. A equação y = f ( x) estabelece uma correspondência entre os pontos x no eixo real x e os pontos y no eixo real y. Ao conjunto dos pontos (x, y) formados desta correspondência chamamos de gráfico de f(x). Da mesma forma usamos uma superfície para exibir graficamente uma função real z = f ( x, y ) , que relaciona um ponto (x,y) do plano domínio com o número real z do eixo real z, este é um gráfico em três dimensões. Entretanto, quando consideramos w = f ( z) , com z e w variáveis complexas, o domínio desta função é um plano e a imagem também. Assim seu gráfico teria quatro dimensões, tornando impraticável sua representação. Mesmo assim, algumas informações da função podem ser obtidas através da observação da relaçãoentre os pontos do domínio e da imagem. Utilizamos para isto, dois planos complexos distintos: o z-plano e o w-plano, onde para cada ponto z = ( x, y ) no z-plano corresponde a um ponto w = (u, v ) do w-plano. Escolhendo um conjunto de pontos no domínio da função, podemos estudar a correspondência existente entre este conjunto e sua imagem. A esta relação damos o nome de transformação de umconjunto de pontos do z -plano em um outro conjunto de pontos no w-plano pela função. Este termo se aplica a conjuntos como uma curva, uma região, etc.. Para empregarmos certos termos geométricos, é conveniente, às vezes, considerar a aplicação como uma transformação num só plano. A função w = z + 2 , por exemplo, pode ser encarada como uma translação de cada ponto z à posição w = z + 2 , isto é, duas...
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