Unicamp mat 2012

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RESPOSTAS ESPERADAS – MATEMÁTICA
Questão 13
a)

Como o ângulo de giro do ponteiro é diretamente proporcional à velocidade, podemos escrever
210
x
.

240 km 104 km

Desse modo, x  104  210 / 240  91.
Resposta: O ângulo mede 91º.

b) A função pedida tem a forma v(x) = ax + b, em que a e b são constantes reais. Sabemos que o gráfico de
uma função linear é a uma reta cujainclinação é a e cujo ponto de interseção com o eixo-y é (0, b). Assim,
sabendo que a reta passa pelos pontos (20, 20) e (70, 65), encontramos o coeficiente a escrevendo
a

( y 2  y 1 ) (65  20) 45


 0,9 .
( x 2  x 1 ) (70  20) 50

De posse de a, encontramos b usando um dos pontos dados. Tomando o ponto (20, 20), temos
v(20)  a  20  b
20  0,9  20  b

b  20  18  2 .Resposta: A função é v(x) = 0,9x + 2.

b’) A função pedida tem a forma v(x) = ax + b. Como a reta passa pelos pontos (20, 20) e (70, 65), temos o
seguinte sistema linear
20a  b  20

70a  b  65

Subtraindo a primeira linha da segunda obtemos 50a = 45, donde a = 9/10. Substituindo, agora, o valor de
a na primeira equação, obtemos 20.9/10 + b = 20. Desse modo, b = 20 – 18 = 2.
Resposta: Afunção é v(x) = 0,9x + 2.

Respostas Esperadas • 2ª Fase

RESPOSTAS ESPERADAS – MATEMÁTICA
Questão 14
a)

O cômodo, cuja área é superior a 6 m², tem perímetro igual a 2  3,0  2  2.4  10,8 m. Desse modo, o
número de tomadas é maior ou igual a 10,8/5 = 2,16. Logo, é preciso instalar ao menos 3 tomadas,
espaçadas de 10,8/3 = 3,6 m.
Resposta: Devem ser instaladas ao menos 3 tomadas,com um espaçamento de 3,6 m entre elas.

b) O fio deverá subir 2,7 – 1,0 = 1,7 m verticalmente pela parede. Além
disso, será preciso gastar a metros de fio para ligar o ponto do teto
que está exatamente sobre o interruptor ao centro do cômodo,
como mostra a figura ao lado.
Nesse caso,
a 2  0,5 2  1,2 2  0,25  1,44  1,69.

Logo, a  1,69  1,3 m, e o fio deve medir 1,7 + 1,3 = 3,0 m.Resposta: O fio deve medir 3 m.

Questão 15
a)

Reescrevendo a equação, obtemos
x 2  x  1  0.

Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Báskara:

x

 ( 1)  ( 1) 2  4  1 ( 1) 1  5
.

2 1
2

Portanto, a raiz positiva da equação é x  (1  5 ) / 2.
Resposta: O número áureo é (1  5 ) / 2 .

b) Aplicando a fórmula recursiva de F(n), obtemos F(9) = 21 + 13 =34, F(10) = 34 + 21 = 55 e F(11) = 55 +
34 = 89. Assim, a aproximação desejada para o número áureo é 89 / 55  1,6 .
Resposta: O 10º termo da sequência é 55 e o 11º termo é 89. O valor aproximado do número áureo
é 1,6.

Respostas Esperadas • 2ª Fase

RESPOSTAS ESPERADAS – MATEMÁTICA
Questão 16
a)

Observamos na figura ao lado que
R1  AB  1 cm.

R 2  CB  2R1  2 cm.
R 3  AD R1  R 2  3 cm.
R 4  EB  2R 2  4 cm.

A área da região destacada é a soma das
áreas de dois semicírculos, um com raio R3 e
outro com raio R4. Logo,
A

R 2 R 2
25

3
4

 (3 2  4 2 ) 
cm 2 .
2
2
2
2

Resposta: A área da região destacada é
igual a 25/2 cm2.

b) O i-ésimo arco de circunferência mede metade do comprimento da circunferência de raio Ri, ou seja,
c i R i  i . O comprimento da curva formada pelos primeiros n arcos é a soma dos termos de uma
progressão aritmética de termo geral ci. Logo,
c

n

 ci 
i1

n

n

i1

i1

 i   i 

Supondo que n = 20, temos c = ·20·21/2 = 210 cm.
Resposta: A curva tem 210 cm de comprimento.

Respostas Esperadas • 2ª Fase

n(n  1)
.
2

RESPOSTAS ESPERADAS – MATEMÁTICAQuestão 17
a)

Se 1 quilate corresponde a 200 mg, então 0,7 quilate corresponde a 0,7·200 = 140 mg = 0,14 g.
Como cada cm3 de diamante tem 3,5 g, podemos escrever
3,5 g
1cm

3



0,14 g
,
x

donde 3,5x = 0,14, ou x = 0,14/3,5 = 0,04 cm3.
Resposta: Um brilhante de 0,7 quilate tem 0,04 cm3, ou 40 mm3.

b) A parte superior do brilhante é um tronco de cone com R = 2 mm, r = 1...
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