Técnologo

Produtos
4.1

Produtos escalares

Neste t´pico iremos estudar um novo tipo de opera¸˜o entre vetores do plano e do espa¸o. Vamos o ca c fazer inicialmente uma considera¸˜o geom´trica, como segue. ca e
Seja um triˆngulo ABC com medidas dos lados a, b e c como na figura. a A lei dos cossenos da geometria plana estabelece que a2 = b2 + c2 − 2bc cos A.

C•

h d h d h d h d h d h d h bh da h d h d h d h d h d h d h
•
•

A

c

Quando o ˆngulo A ´ reto, o triˆngulo ´ a e a e retˆngulo com catetos b e c e hipotenusa a, e a a lei acima se reduz ao Teorema de Pit´goras: a a2 = b2 + c2 .

B

−
−
→
−
→
−→
−
Usando linguagem vetorial, podemos considerar os vetores u = AB, v = AC e w = BC, de modo que |u| = c, |v| = b e |w| = a.
−→ −
−
→ −
−
→
Temos BC = AC − AB e portanto w = v − u.
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Podemos reescrever a lei dos cossenos na forma:
− −
−
→ →
AB AC
|v − u|2 = |v|2 + |u|2 − 2|v||u| cos ∡( u , v )
Assim, os vetores u e v tˆm dire¸˜es perpendiculares entre si quando |v||u| cos ∡(u, v) = 0. e co
O produto escalar entre dois vetores u e v ´ definido como n´mero real |u||v| cos ∡(u, v) e ´ e u e denotado por u · v ou < u, v >.
Obs: A nota¸˜o u · v ´ mais comum em livros de C´lculo e F´ ca e a ısica, entquanto que a nota¸˜o ca ´
< u, v > aparece nos livros de Algebra Linear. Nesta disciplina, estaremos usando a nota¸˜o u · v. ca Nos comandos de programas de computa¸˜o alg´brica, como o Maple, este produto ´ chamado de ca e e “dot product”(dotprod — dot=ponto em inglˆs). e ´
E claro que se u ou v for nulo temos u · v = 0. ca Definicao: Dois vetores u e v s˜o ortogonais se u · v = 0. Nota¸˜o: u ⊥ v
¸˜
a
Mais geralmente, o produto escalar u · v permite calcular o ˆngulo entre dois vetores n˜o nulos a a u·v u e v, fazendo ∡(u, v) = arccos
. Convencionamos tomar o ˆngulo entre dois vetores n˜o a a
|u||v|
nulos sempre entre 0 e π radianos.
O ˆngulo entre u e v