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SUBSTITUIÇÕES DE VARIÁVEIS MÚLTIPLAS Às vezes, regiões complicadas podem ser transformadas em regiões simples através de uma mudança de variável. Em integrais simples, quando fazemos uma mudança de variável (consequentemente, ), a integral fica:

Analogamente, uma expressão que depende das derivadas parciais aparece na mudança de variáveis. Seja e uma função que transforma D em T. A integral de f sobre D fica:

onde é o Jacobiano de x em relação a u. Método da substituição em integrais duplas. Uma mudança de variáveis pode também ser útil em integrais duplas. As novas variáveis r e θ estão relacionadas às velhas variáveis x e y pelas equações. x= r cos θ y= r sem θ
É a fórmula de mudança de variáveis. De modo mais geral, consideramos uma mudança de variável dada pela transformação T do plano u v pelas equações. T(u, v) = (x,y)

Onde x e y estão relacionadas com u e v pelas equações x= g(u,v) y= h(u,v)

ou, como as vezes escrevemos, x= x(u,v) y= y (u,v) Em geral, consideramos T uma transformação C¹, o que significa que g e h têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas.

Uma transformação T é de fato somente uma função cujo domínio e imagem são ambos subconjuntos de R². Se T(u,v) = (x,y), então o ponto (x,y) é denominado imagem do ponto (u1,v1). Se não existem dois pontos com a mesma imagem, T é injetora.
Se T é injetora, então existe uma transformação inversa T-¹ do plano xy para o plano uv, e pode ser possível inverter a equação pra escrever u e v em termos de x e y: u=G(x,y) v=H(x,y) Agora vamos ver como a mudança de variáveis afeta a integral dupla. Comecemos com um retângulo pequeno S no plano uv cujo canto inferior esquerdo é o ponto (u0, vo) e cujas dimensões são Δu e Δv. A imagem S é a região R do plano xy, sendo que um dos pontos da fronteira é (x0, y0). O vetor r(u,v)= gu(u, v) i + h(u, v) j é o vetor posição da imagem do ponto (u,v). A equação do lado inferior de S é v = v0,