Tuanygenu

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SUBSTITUIÇÕES DE VARIÁVEIS MÚLTIPLAS
Às vezes, regiões complicadas podem ser transformadas em regiões simples através de uma mudança de variável. Em integrais simples, quando fazemos uma mudança devariável (consequentemente, ), a integral fica:

Analogamente, uma expressão que depende das derivadas parciais aparece na mudança de variáveis. Seja e uma função que transforma D em T. A integralde f sobre D fica:

onde é o Jacobiano de x em relação a u.

Método da substituição em integrais duplas.
Uma mudança de variáveis pode também ser útil em integrais duplas. As novasvariáveis r e θ estão relacionadas às velhas variáveis x e y pelas equações.
x= r cos θ y= r sem θ
É a fórmula de mudança de variáveis.
De modo mais geral, consideramos uma mudança de variáveldada pela transformação T do plano u v pelas equações.
T(u, v) = (x,y)

Onde x e y estão relacionadas com u e v pelas equações
x= g(u,v) y= h(u,v)

ou, como as vezes escrevemos,
x=x(u,v) y= y (u,v)
Em geral, consideramos T uma transformação C¹, o que significa que g e h têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas.

Uma transformação T é de fato somente umafunção cujo domínio e imagem são ambos subconjuntos de R². Se T(u,v) = (x,y), então o ponto (x,y) é denominado imagem do ponto (u1,v1). Se não existem dois pontos com a mesma imagem, T é injetora.
Se T éinjetora, então existe uma transformação inversa T-¹ do plano xy para o plano uv, e pode ser possível inverter a equação pra escrever u e v em termos de x e y:
u=G(x,y) v=H(x,y)
Agora vamosver como a mudança de variáveis afeta a integral dupla. Comecemos com um retângulo pequeno S no plano uv cujo canto inferior esquerdo é o ponto (u0, vo) e cujas dimensões são Δu e Δv. A imagem S é aregião R do plano xy, sendo que um dos pontos da fronteira é (x0, y0). O vetor
r(u,v)= gu(u, v) i + h(u, v) j
é o vetor posição da imagem do ponto (u,v). A equação do lado inferior de S é v = v0,...
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