Troncos de sólidos geométicos

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1. INTRODUÇÃO




Este trabalho tem como objetivo mostrar a definição, as propriedades, características e aplicações das figuras geométricas espaciais denominadas troncos.

O estudo dos sólidos geométricos é de extrema importância, pois permite que tomemos conhecimento das formas que nos cercam no cotidiano, ajudando-nos a resolver problemas diários, além de aprender e entendero uso de algumas dessas formas, como por exemplo, em grandes obras da engenheira civil.




1. Troncos

Para o estudo da geometria, tronco é a parte de um sólido geométrico, sendo este cilindro, cone, pirâmide ou prisma, em que o sólido é separado por uma secção, isto é, um corte perpendicular ou oblíquo à base, de modo a formar um objeto espacial de duas bases semelhantes, poremnão congruentes.

No caso de prismas e cilindros, o plano que intersecta o sólido não pode ser paralelo às bases, pois senão formar-se-iam duas figuras iguais. No entanto, neste trabalho, exploraremos apenas os troncos de pirâmide e de cone.

[pic]

Uma pirâmide qualquer, e posteriormente, o seu tronco (tronco de pirâmide).

[pic]

Um cone qualquer, eposteriormente, o seu tronco (tronco de cone).




2. TRONCOS DE PIRÂMIDE

2.1. Definição
Tronco de pirâmide é a porção do sólido encontrada entre a base e a secção plana que intercepta todas as arestas laterais. Se a secção é paralela à base, tem-se um tronco de pirâmide com bases paralelas; a sua altura é a distância das duas bases.
A condição para se ter um tronco depirâmide com bases paralelas é o paralelismo entre a secção e a base. Um tronco piramidal regular é a porção de pirâmide regular compreendida entre a base e uma secção paralela a essa base. As faces laterais são trapézios isósceles iguais; a altura de cada um desses trapézios chama-se apótema do tronco.
Os troncos também podem ser de diferentes tipos, dependendo da sua base. Nas figurasabaixo podemos ver alguns exemplos de troncos.


[pic]
Pirâmide quadrangular e seu tronco


[pic]
Pirâmide retangular e seu tronco





2.2. Elementos
[pic] : Apótema da base menor.
[pic] : Apótema da base maior.
[pic] : Apótema do tronco da pirâmide (alt. do trapézio).
[pic]: Altura do tronco.
[pic]: Arestas da basemaior.
[pic]: Arestas da base menor
[pic]: Arestas laterais
O’: Centro da base menor
O: Centro da base maior2.3. Planificação

[pic]
aB: Aresta da base maior
ab: aresta da base menor
ap.b: Apótema da base menor ([pic])
ap.B: Apótema da base maior ([pic]
Apf: Apótema da face = apótema do tronco da pirâmide = altura do trapézio ([pic])
af: Aresta da face
2.4. Relações entre os elementos
I- A partir do Teorema de Pitágoras é possível obter a altura do tronco:
[pic] [pic]Imagem 1 Imagem2

Basta pegar o trapézio O’Oab,e a partir do mesmo, extrair o triângulo retângulo (Imagem 2).
Chegando-se a seguinte relação:
(Ap.trc)² = H² + (Ap. B – Ap.b)²

II- Observando a parte frontal da pirâmide:
[pic]
Através de semelhança detriângulos, é possível concluir que:
[pic] (Principio de Cavalieri)
Onde K é a constante de semelhança. A partir desse princípio, temos:
- [pic]
- [pic]
2.5. Áreas e volume













2.5.1. Área da base
A área da base – tanto a base maior, quanto a base menor- vai depender do polígono que a forma. Se a área da base for um/uma:
- Triângulo: [pic]
-...
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