Trocador de calor

2.12.2 Lei de Resfriamento de Newton
Vamos considerar agora um modelo simpli¯cado para o fen^omeno de varia»c~ao de temperatura num corpo devido µa perda de calor para o meio ambiente. Adotaremos as seguintes hip¶oteses:
(i) a temperatura T do corpo ¶e a mesma em todo corpo e depende somente do tempo t;
(ii) a temperatura £ do meio ambiente ¶e constante;
(iii) o °uxo de calor atrav¶es das paredes do corpo ¶e proporcional µa diferen»ca entre as temperaturas do corpo de do meio ambiente: dT dt
= ¡k (T ¡ £) ; (2.160) onde k > 0 ¶e a chamada constante de resfriamento, e o sinal negativo est¶a associado ao fato de que a temperatura de um corpo quente relativamente ao meio ambiente sempre decresce com o tempo. Tal modelo foi considerado por
Newton no caso de uma esfera de metal aquecida.
Um modelo mais acurado consistiria na utiliza»c~ao da \lei de Newton dos elementos pr¶oximos" dentro do corpo, onde a temperatura depende agora tamb¶em do ponto x do corpo, sendo dada pela equa»c~ao diferencial parcial, chamada equa»c~ao do calor, dT dt
= k
@2T
@x2 : (2.161)
Neste modelo a eq. (2.160) aparece como condi»c~ao de fronteira.
Vejamos alguns exemplos de aplica»c~ao da lei de resfriamento de Newton.
24 CAP¶ITULO 2. EQUA»C~OES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
Esfera de Cobre
A experi^encia mostra que a taxa de varia»c~ao da temperatura de um corpo ¶e aproximadamente proporcional µa diferen»ca entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente. Uma esfera de cobre ¶e aquecida a uma temperatura de 100 C. No instante t = 0 ela ¶e imersa em ¶agua que ¶e mantida a uma temperatura de 30 C. Depois de 3 min. a temperatura de esfera est¶a reduzida a 70 C. Determinar o instante em que a temperatura atinge 31 C.
Solu»c~ao:
Sendo T a temperatura do corpo, o problema nos informa que dT dt
= ¡·(T ¡ 30) ; (2.162) onde a constante de proporcionalidade · ¶e positiva, pois a temperatura do corpo sempre diminui com o tempo.
Esta equa»c~ao tem solu»c~ao geral T (t) = 30 + e¡·tC , onde a