Trocador de calor

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2.12.2 Lei de Resfriamento de Newton
Vamos considerar agora um modelo simpli¯cado para o fen^omeno de varia»c~ao de temperatura num corpo devido µa
perda de calor para o meio ambiente. Adotaremos as seguintes hip¶oteses:
(i) a temperatura T do corpo ¶e a mesma em todo corpo e depende somente do tempo t;
(ii) a temperatura £ do meio ambiente ¶e constante;
(iii) o °uxo de calor atrav¶es das paredesdo corpo ¶e proporcional µa diferen»ca entre as temperaturas do corpo de do
meio ambiente:
dT
dt
= ¡k (T ¡ £) ; (2.160)
onde k > 0 ¶e a chamada constante de resfriamento, e o sinal negativo est¶a associado ao fato de que a temperatura
de um corpo quente relativamente ao meio ambiente sempre decresce com o tempo. Tal modelo foi considerado por
Newton no caso de uma esfera de metal aquecida.
Ummodelo mais acurado consistiria na utiliza»c~ao da \lei de Newton dos elementos pr¶oximos" dentro do corpo,
onde a temperatura depende agora tamb¶em do ponto x do corpo, sendo dada pela equa»c~ao diferencial parcial,
chamada equa»c~ao do calor,
dT
dt
= k
@2T
@x2 : (2.161)
Neste modelo a eq. (2.160) aparece como condi»c~ao de fronteira.
Vejamos alguns exemplos de aplica»c~ao da lei de resfriamentode Newton.
24 CAP¶ITULO 2. EQUA»C~OES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
Esfera de Cobre
A experi^encia mostra que a taxa de varia»c~ao da temperatura de um corpo ¶e aproximadamente proporcional µa diferen»ca
entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente. Uma esfera de cobre ¶e aquecida a uma temperatura
de 100 C. No instante t = 0 ela ¶e imersa em ¶agua que ¶e mantida a uma temperatura de30 C. Depois de 3 min. a
temperatura de esfera est¶a reduzida a 70 C. Determinar o instante em que a temperatura atinge 31 C.
Solu»c~ao:
Sendo T a temperatura do corpo, o problema nos informa que
dT
dt
= ¡·(T ¡ 30) ; (2.162)
onde a constante de proporcionalidade · ¶e positiva, pois a temperatura do corpo sempre diminui com o tempo.
Esta equa»c~ao tem solu»c~ao geral T (t) = 30 + e¡·tC , onde aconstante arbitr¶aria C ¶e determinada pela condi»c~ao
T(0) = 100 , ou seja, C = 70, de modo que
T (t) = 30 + 70e¡·t ; (2.163)
A constante · pode ser determinada a partir da condi»c~ao T(3) = 30 + 70e¡·3 = 70, de modo que · = 0: 186 54 .
Portanto, a temperatura da esfera em um instante qualquer t ¶e
T (t) = 30 + 70e¡0:18654t : (2.164)
Desta equa»c~ao temos que a temperatura T = 31±C ¶e atingidaquando
t =
ln 70
0:1865
= 22:78 min: (2.165)
Caf¶e
Dois amigos v~ao ao bar e pedem dois caf¶es. O primeiro adiciona uma colher de a»c¶ucar imediatamente. O segundo
espera um pouco e adiciona uma colher de a»c¶ucar 30 segundos depois. Ent~ao ambos bebem seus caf¶es. Quem bebe
o caf¶e mais frio ?
Solu»c~ao:
Podemos novamente utilizar a lei de Newton do resfriamento, utilizada no exemplo anterior, quepode servir nesse
caso como uma boa aproxima»c~ao para uma estimativa que ¶e qualitativa.
Sejam £ a temperatura ambiente, T a temperatura em que o caf¶e ¶e servido, T1 ¶e temperatura do caf¶e do primeiro
rapaz ap¶os 30 segundos e T2 ¶e a temperatura do caf¶e do segundo rapaz, ap¶os 30 segundos antes dele adicionar a»c¶ucar.
Assumimos ent~ao que a temperatura dos dois caf¶es evolui de acordo com leide resfriamento de Newton:
dT
dt
= ¡·(T ¡ £) ; (2.166)
onde · > 0 ¶e a constante de resfriamento, associada ao sistema caf¶e-x¶³cara. A equa»c~ao (2.166) ¶e separ¶avel e sua
integra»c~ao resulta, para cada caso, em
T1 (t) = £ + (T0 ¡ ¢T ¡ £) e¡·t ; (2.167)
T2 (t) = £ + (T0 ¡ £) e¡·t ; (2.168)
onde ¢T ¶e a queda de temperatura do caf¶e causada pela adi»c~ao de a»c¶ucar. No caso do primeiro rapaztal queda de
temperatura j¶a ¶e tomada em conta na temperatura inicial, de modo que T1 ¶e a temperatura do caf¶e que ele bebe.
Por outro, lado o segundo rapaz bebe o caf¶e a uma temperatura T2 = T2 ¡ ¢T. A diferen»ca das temperaturas ¶e
ent~ao dada por
T2 ¡ T1 = ¢T(e¡·t ¡ 1) < 0 : (2.169)
Portanto, T2 < T1, de modo que o segundo rapaz bebe o caf¶e mais frio.
Temperatura do Ambiente...
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