Trigonometria

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Resumo de Trigonometria
Prof. Alexandre Costa Washington

1

ˆ Fun¸˜es Trigonom´tricas do Angulo Agudo co e

sen x =

cateto oposto BC = hipotenusa AB cateto adjacente AC = hipotenusa AB

cosec x =

1 hipotenusa AB = = sen x cateto oposto BC

cos x =

sec x =

1 hipotenusa AB = = cos x cateto adjacente AC 1 cateto adjacente AC = = tg x cateto oposto BC

tg x =

catetooposto BC = cateto adjacente AC

cotg x =

2

Alguns Valores Not´veis a
ˆ Angulo em graus ˆ Angulo em radianos sen x cos x tg x 0o 0 0 1 0 30o π/6 1/2 √ 3/2 √ 3/3 45o π/4 √ 2/2 √ 2/2 1 60o π/3 √ 3/2 1/2 √ 3 90o π/2 1 0 n˜o existe a

3

Convers˜o de Unidades a
π radianos = 180 graus = 200 grados.

Para efetuar a convers˜o de unidades, basta fazer uma regra de trˆs simples baseada nasseguintes equivalˆncias: a e e

Por exemplo, para converter 20o para radianos: 180o 20o — π — x ⇒ x = π/9.

1

4

O Ciclo Trigonom´trico e

O ˆngulo x equivale ao arco AP . a Medidas alg´bricas: e sen x = ON cosec x = OR cos x = OM sec x = OQ tg x = AT cotg x = OS

No triˆngulo retˆngulo hachurado: a a teorema de Pit´goras: M P 2 + OM 2 = 1 ⇒ ON 2 + OM 2 = 1 ⇒ sen2x + cos2x = 1. a

55.1

Identidades Trigonom´tricas e
Rela¸˜es Fundamentais co
tg x = sen2x + cos2x = 1 cotg x = sen x cos 1 cos x = tg x sen x sec x = 1 cos x 1 sen x

cosec x =

5.2

Rela¸˜es Auxiliares co
sec2x = 1 + tg2x cosec2x = 1 + cotg2x

2

6
6.1

Fun¸˜es Trigonom´tricas e seus Gr´ficos co e a
Fun¸˜o Seno ca

Tipo: fun¸˜o ´ ca ımpar, peri´dica, limitada, cont´ o ınua. Dom´ ınio: R.Contradom´ ınio: R. Imagem: [−1, 1]. Per´ ıodo: 2π.

6.2

Fun¸˜o Co-seno (ou Cosseno) ca

Tipo: fun¸˜o par, peri´dica, limitada, cont´ ca o ınua. Dom´ ınio: R. Contradom´ ınio: R. Imagem: [−1, 1]. Per´ ıodo: 2π.

6.3

Fun¸˜o Tangente ca

Tipo: fun¸˜o ´ ca ımpar, peri´dica, ilimitada, descont´ o ınua. Dom´ ınio: R − {π/2 + kπ | k ∈ Z}. Contradom´ ınio: R. Imagem: R. Per´ ıodo: π.

6.4Fun¸˜o Co-tangente ca

Tipo: fun¸˜o ´ ca ımpar, peri´dica, ilimitada, descont´ o ınua. Dom´ ınio: R − {kπ | k ∈ Z}. Contradom´ ınio: R. Imagem: R. Per´ ıodo: π.

6.5

Fun¸˜o Secante ca

Tipo: fun¸˜o par, peri´dica, ilimitada, descont´ ca o ınua. Dom´ ınio: R − {π/2 + kπ | k ∈ Z}. Contradom´ ınio: R. Imagem: (−∞, −1] ∪ [1, +∞). Per´ ıodo: 2π.

6.6

Fun¸˜o Co-secante (ou Cossecante) caTipo: fun¸˜o ´ ca ımpar, peri´dica, ilimitada, descont´ o ınua. Dom´ ınio: R − {kπ | k ∈ Z}. Contradom´ ınio: R. Imagem: (−∞, −1] ∪ [1, +∞). Per´ ıodo: 2π.

3

7
7.1

Breve Formul´rio de Trigonometria a
Arco Soma e Arco Diferen¸a c
sen(x ± u) = sen x · cos u ± sen u · cos x cos(x ± u) = cos x · cos u tg(x ± u) = 1 tg x ± tg u tg x · tg u sen u · sen x cotg(x ± u) = cotg x · tg u 1 cotg x± cotg u

7.2

Arco Duplo
  cos2x − sen2x     2 · cos2x − 1 cos 2x =      1 − 2 · sen2x 2 · tg x 1 − tg2x

sen 2x = 2 · sen x · cos x

tg 2x =

7.3

Arco Triplo
sen 3x = 3 · sen x − 4sen3x cos 3x = 4cos3x − 3 · cos x tg 3x = 3 · tg x − tg3x 1 − 3 · tg2x

7.4

Arco Metade
sen(x/2) = ± 1 − cos x 2 cos(x/2) = 1 + cos x 2 tg(x/2) = ± 1 − cos x 1 + cos x

Se tg(x/2) =t, ent˜o: a sen x = 2t 1 + t2 cos x = 1 − t2 1 + t2 tg x = 2t 1 − t2

7.5

F´rmulas de Revers˜o o a

Estas f´rmulas tamb´m s˜o chamadas f´rmulas de Werner: o e a o cos(x + u) + cos(x − u) = 2 · cos x · cos u cos(x + u) − cos(x − u) = −2 · sen x · sen u sen(x + u) + sen(x − u) = 2 · sen x · cos u sen(x + u) − sen(x − u) = 2 · cos x · sen u

7.6

F´rmulas de Transforma¸˜o em Produto o cax+u 2 x+u 2 x+u 2 x+u 2 x−u 2 x−u 2 x−u 2 x−u 2

Estas f´rmulas tamb´m s˜o chamadas f´rmulas de prostaf´rese: o e a o e cos(x) + cos(u) = 2 · cos · cos

cos(x) − cos(u) = −2 · sen

· sen

sen (x) + sen (u) = 2 · sen

· cos

sen (x) − sen (u) = 2 · cos

· sen

4

8
8.1

Fun¸˜es Trigonom´tricas Inversas, Gr´ficos e F´rmulas co e a o
Fun¸˜o Arco Seno ca

Dom´ ınio: [−1, 1]....
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