Trigonometria

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MEDIDA DE ARCOS EM RADIANOS Definição Essa medida é considerada uma razão existente entre o comprimento do arco e o comprimento do raio da circunferência, sobre a determinação do arco.

ARCO (ÂNGULO) TRIGONOMÉTRICO Arco trigonométrico AP é o conjunto dos infinitos arcos que partem da origem A até a extremidade P, sempre girando no sentido positivo ou negativo. Podendo assim aparecer na primeirapassagem ou depois de várias voltas completas no ciclo trigonométrico. O ângulo trigonométrico AOP significa o conjunto dos infinitos ângulos centrais que estão associados ao arco trigonométrico AP. Vejamos:

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CICLO TRIGONOMÉTRICO Este ciclo é considerado uma circunferência com único raio, que fica fixado em um ponto (A), como sendo a origem do arco, adotando um sentido anti-horáriopositivo. O ciclo trigonométrico pode ser dividido em 4 partes, chamadas de quadrantes.

CONVERSÕES As conversões existentes entre as medidas de arcos ou ângulos em graus e radianos são ocorrem através de uma regra de três simples seguidos da relação: 360° equivale a 2π radianos ou 180° que equivale a π radianos. Exemplo: Conversão de 210° em radianos. 180° = π rad 210° = x rad

Portanto, 210°equivale a

radianos.

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ARCOS CÔNGRUOS Dois arcos trigonométricos são ditos côngruos, quando a diferença entre eles é um número múltiplo de 360º. Assim é que sendo x e y dois arcos trigonométricos, eles serão côngruos se e somente se: x − y = k * 360º, onde k é um número inteiro. Portanto, para descobrir se dois arcos são côngruos, basta verificar se a diferença entre eles é um múltiplo de360º (ou 2π radianos, pois 2π rad = 360º). Obs. Arcos de uma mesma família são côngruos. Exemplo: Os arcos 2780º e 1700º, são côngruos, pois: 2780º − 1700º = 1080º 1080º é divisível por 360º (1080º / 360º = 3). ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 1. Ângulo central Ângulo central é todo o ângulo que possui o vértice no centro da circunferência. Na figura abaixo, AB é o arco que corresponde ao ângulo central AÔB.Se considerarmos a unidade de arco unitário, o arco será definido por um ângulo central unitário, dessa forma teremos a medida do ângulo AÔB igual à medida do arco AB. Vejamos:

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2. Ângulo inscrito Ângulo inscrito em uma circunferência é todo o ângulo que tem o vértice na circunferência, onde seus lados são secantes a ela. A medida do ângulo inscrito é sempre a metade da medida do arco queele estabelece na circunferência.

3. Ângulo de segmento Ângulo de segmento é todo ângulo em que o vértice pertence à circunferência, sendo um dos lados secante e o outro tangente. A medida do ângulo de segmento é a metade do arco por ele estabelecido. Na figura abaixo, α é considerado um ângulo de segmento, que estabelece na circunferência o arco AB. Vejamos:

4. Ângulo excêntrico interiorÂngulo excêntrico interior é aquele ângulo que possui como vértice um ponto longe do centro da região interior da circunferência.

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Na figura, o ângulo A B é excêntrico interior e estabelece na circunferência o arco AB. As retas o arco CD. e interceptam a circunferência nos pontos C e D, estabelecendo

A medida do ângulo APB é a metade da soma dos arcos AB e CD. Logo:

5. Ânguloexcêntrico exterior Ângulo excêntrico exterior é aquele ângulo que possui como vértice um ponto da região exterior da circunferência, e lados secantes ou tangentes à circunferência. Na figura, o ângulo A B é excêntrico exterior e determina na circunferência os arcos AB e CD. A medida do ângulo A B é a metade da diferença entre os arcos AB e CD. Logo:

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ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS Considerando a e bcomo sendo as determinações de dois arcos, temos: • Cosseno de (a + b)

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I.

Demonstração

Baseados nas construções geométricas mostradas na representação acima, concluímos que os triângulos OMP, OVS e QTS são retângulos e muito parecidos, ou seja: I) OM = cos a PM = sen a OS = cos b QS = sen b ON = cos (a + b) II)

III)

Como: ON = OV – NV = OV – TS, resulta em: cos (a + b) =...
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