Triangulo ortogonal

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MODULO 1 - AULA 10

Aula 10 – Triˆngulo Retˆngulo a a
Proje¸˜o ortogonal ca
Em um plano, consideremos um ponto e uma reta. Chama-se proje¸˜o ca ortogonal desse ponto sobre essa reta o p´ da perpendicular tra¸ada do ponto e c ` reta. a Na figura, o ponto Q’ ´ a proje¸˜o ortogonal de Q sobre r. e ca

Proje¸˜o ortogonal de um segmento sobre uma reta ´ o conjunto das proje¸˜es ca e co ortogonaisde todos os pontos desse segmento. Nas figuras, a proje¸˜o ortogonal do segmento AB sobre a reta r ´ o segca e mento A’B’.

Note que a proje¸˜o ortogonal de um segmento cuja reta suporte ´ perpenca e dicular a reta ´ o ponto A’ = B’. ` e

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CEDERJ

Rela¸˜es m´tricas nos triˆngulos retˆngulos co e a a
Elementos Considere a figura:

BC = a ´ a hipotenusa. e AB = c e AC = b s˜o oscatetos. a AH = h ´ a altura relativa a hipotenusa. e ` BH = n e CH = m s˜o, respectivamente, as proje¸˜es dos catetos AB e a co AC sobre a hipotenusa BC. Rela¸˜es co No triˆngulo retˆngulo ABC da figura, sendo: a a

BC = a, AC = b, AB = c, AH = h, BH = n, e CH = m

ent˜o valem as seguintes rela¸˜es: a co 1) m + n = a; 2) b2 = a · m; 3) b · c = a · h; 4) c2 = a · n; 5) b2 + c2 = a2 (Teorema dePit´goras); a 6) h2 = m · n.
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MODULO 1 - AULA 10

Prova: Seja o ∆ABC retˆngulo, sendo BC = a, AC = b, AB = c, AH = h, BH = n a e CH = m.

Como BH + HC = BC ⇒ n + m = a Considere os triˆngulos AHC e ABC, a  ˆ  C comum    (1)

ˆ ˆ AHC = BAC = 90

AA∼ ◦

=⇒ ∆AHC ∼ ∆ABC

Da´ ı, a b c = = ⇒ b m h

b2 = a · m b·c=a·h

(2) (3)

Considere os triˆngulos AHB e ABC a  ˆ  Bcomum    Da´ ı c b a = = ⇒ c2 = a · n c n h Somando (2) e (4): b2 + c2 = a · m + a · n = a(m + n) De (1) b2 + c2 = a · a Da´ ı b2 + c2 = a2 (5)
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ˆ ˆ AHB = BAC = 90

AA∼ ◦

=⇒ ∆AHB ∼ ∆ABC

(4)

Multiplicando (2) e (4) vem: b2 · c2 = a · m · a · n = a2 m · n, De (3) vem: a2 · h2 = a2 m · n, a = 0 ⇒ h2 = m · n (6)

Observa¸˜o: ca Triˆngulos pitag´ricos s˜o triˆngulosretˆngulos cujos lados tˆm por medida a o a a a e n´ meros inteiros. u Exemplo: Os triˆngulos cujos lados s˜o proporcionais aos n´meros 3, 4 e 5 a a u s˜o retˆngulos e tamb´m pitag´ricos. a a e o

Exerc´ ıcios Resolvidos
1. No triˆngulo retˆngulo da figura, calcule a, h, m e n. a a

Solu¸˜o: ca Do resultado anterior, temos: De (5) vem: 52 + 122 = a2 ⇒ a2 = 169 ⇒ a = 13 25 De (2) vem: 52 = 13m ⇒ m =13 25 25 144 144 De (1) vem: + n = 13 ⇒ n = 13 − = ⇒n= 13 13 13 13 5 · 12 60 60 25 144 · ⇒h= = ⇒h= De (6) vem: h2 = 13 13 13 13 13 2. Calcule a medida de cada diagonal de um quadrado em fun¸˜o da ca medida l dos lados.
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MODULO 1 - AULA 10

Solu¸˜o: ca Seja ABCD um quadrado de lado l e BD uma diagonal cuja medida ´ d. e

Usando (5) vem:

√ Cada diagonal vale l 2.

√ l 2 + l 2= d2 ⇒ d = l 2

3. Calcule a medida de cada altura de um triˆngulo equil´tero em a a fun¸˜o da medida l dos lados. ca Solu¸˜o: ca Seja ABC um triˆngulo equil´tero de lado l e AH = h (altura). a a

Considere o triˆngulo retˆngulo AHC. Como a altura ´ a mediana no a a e triˆngulo equil´tero, vem: a a BH = HC = Da´ por (5) vem: ı, h +
2

l 2

l 2

2

√ l2 3l2 l 3 2 =l ⇒h =l − ⇒h = ⇒h= .4 4 2
2 2 2

√ l 3 Logo, cada altura ´ e . 2 4. Calcule o raio de um c´ ırculo inscrito em um triˆngulo retˆngulo de a a catetos 6 cm e 8 cm.
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Solu¸˜o: ca Seja ABC o triˆngulo retˆngulo em A e r o raio do c´ a a ırculo inscrito. A medida da hipotenusa BC ´: e BC = 62 + 82 ⇒ BC = 10 cm
2

Temos por resultado anterior que: CD = CF = 8 − r BE = BF = 6 − r Temos que: BC = BF + CF= 8 − r + 6 − r = 10 ⇒ 14 − 2r = 10 ⇒ 2r = 4 ⇒ r = 2. 5. Na figura, as circunferˆncias de centros A e B e raios 8 cm e 3 cm, e respectivamente, s˜o tangentes exteriormente e tangenciam a reta u a ` nos pontos C e D. Calcule a medida do segmento CD.

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MODULO 1 - AULA 10

Solu¸˜o: ca Se as circunferˆncias s˜o tangentes exteriormente, a distˆncia entre os e a a seus centros ´...
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