Triangulo ortogonal

MODULO 1 - AULA 10

Aula 10 – Triˆngulo Retˆngulo a a
Proje¸˜o ortogonal ca
Em um plano, consideremos um ponto e uma reta. Chama-se proje¸˜o ca ortogonal desse ponto sobre essa reta o p´ da perpendicular tra¸ada do ponto e c ` reta. a Na figura, o ponto Q’ ´ a proje¸˜o ortogonal de Q sobre r. e ca

Proje¸˜o ortogonal de um segmento sobre uma reta ´ o conjunto das proje¸˜es ca e co ortogonais de todos os pontos desse segmento. Nas figuras, a proje¸˜o ortogonal do segmento AB sobre a reta r ´ o segca e mento A’B’.

Note que a proje¸˜o ortogonal de um segmento cuja reta suporte ´ perpenca e dicular a reta ´ o ponto A’ = B’. ` e

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CEDERJ

Rela¸˜es m´tricas nos triˆngulos retˆngulos co e a a
Elementos Considere a figura:

BC = a ´ a hipotenusa. e AB = c e AC = b s˜o os catetos. a AH = h ´ a altura relativa a hipotenusa. e ` BH = n e CH = m s˜o, respectivamente, as proje¸˜es dos catetos AB e a co AC sobre a hipotenusa BC. Rela¸˜es co No triˆngulo retˆngulo ABC da figura, sendo: a a

BC = a, AC = b, AB = c, AH = h, BH = n, e CH = m

ent˜o valem as seguintes rela¸˜es: a co 1) m + n = a; 2) b2 = a · m; 3) b · c = a · h; 4) c2 = a · n; 5) b2 + c2 = a2 (Teorema de Pit´goras); a 6) h2 = m · n.
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MODULO 1 - AULA 10

Prova: Seja o ∆ABC retˆngulo, sendo BC = a, AC = b, AB = c, AH = h, BH = n a e CH = m.

Como BH + HC = BC ⇒ n + m = a Considere os triˆngulos AHC e ABC, a  ˆ  C comum    (1)

ˆ ˆ AHC = BAC = 90

AA∼ ◦

=⇒ ∆AHC ∼ ∆ABC

Da´ ı, a b c = = ⇒ b m h

b2 = a · m b·c=a·h

(2) (3)

Considere os triˆngulos AHB e ABC a  ˆ  B comum    Da´ ı c b a = = ⇒ c2 = a · n c n h Somando (2) e (4): b2 + c2 = a · m + a · n = a(m + n) De (1) b2 + c2 = a · a Da´ ı b2 + c2 = a2 (5)
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ˆ ˆ AHB = BAC = 90

AA∼ ◦

=⇒ ∆AHB ∼ ∆ABC

(4)

Multiplicando (2) e (4) vem: b2 · c2 = a · m · a · n = a2 m · n, De (3) vem: a2 · h2 = a2 m · n, a = 0 ⇒ h2 = m · n (6)

Observa¸˜o: ca Triˆngulos pitag´ricos s˜o triˆngulos