Transformada Z

Sumário

Introdução
A representação senoidal complexa de um sinal de tempo discreto dada pela DTFT será generalizada para uma representação em termos de sinais exponenciais complexos, denominada transformada Z.
Análoga à transformada de Laplace, a função de transferência de um sistema discreto é dada pela transformada Z da resposta ao impulso.
Na prática, a transformada Z é usada para o estudo das características de sistemas e a derivação de estruturas computacionais para implementar sistemas de tempo discreto em computadores.
A Transformada Z

A transformada Z é derivada aplicando uma entrada exponencial complexa a um sistema LTI.
Admita que z = rejΩseja um número complexo com módulo r e fase Ω, então o sinal x[n] = z né um sinal exponencial complexo:

r é o fator de amortecimento e Ω é a frequência fundamental (se r=1, x[n] é uma senóide complexa).

Considere aplicar x[n] = zna um sistema LTI com resposta ao impulso h[n]. A saída y[n] é dada por:

Defina a função de transferência:

De forma que se pode escrever:

Na forma polar temos:

Agora tenta-se representar sinais arbitrários como uma superposição ponderada das autofunções zn:

Vemos que H(rejΩ) corresponde à DTFT de um sinal h[n]r-n.
Consequentemente, a DTFT inversa de H(rejΩ) deve ser h[n]r-ne assim, pode-se escrever:

Fazendo rejΩ= z e dz = jrejΩdΩ, ou seja, dΩ= (1/j)z-1dz. Os limites de -πa πlevam, em z, a percorrer um círculo de raio r no sentido anti-horário. Assim,

Onde o símbolo denota a integração ao longo de um círculo de raio |z| = r.
Então temos o par de transformada Z:

Aqui, a transformada inversa será encontrada por inspeção e não resolvendo a integral.
Condição de convergência da transformada Z:

A faixa de r para a qual esta condição é satisfeita é denominada região de convergência (RDC ou ROC).
A transformada Z existe para sinais que não têm uma DTFT. Por exemplo, a DTFT de x[n] = αnu[n] para |α| > 1 mas se r > α, então r-n decresce