Transformada inversa de laplace

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A Transformada Inversa de Laplace

1. Definição da Transformada Inversa de Laplace

Se a transformada de Laplace de uma função Ft é fs, isto é, se LF(t)=f(s) então Ft é chamada transformada inversa de Laplace de f(s) e escrevemos simbolicamente Ft=L-1f(s) onde L-1 é chamado operador da transformada inversa de Laplace.
Exemplo: Como Le-3t=1s+3 podemos escrever

L-11s+3=e-3t

2.Unicidade das Transformadas Inversas de Laplace

Como a transformada de Laplace de uma função N(t) nula é zero, é claro que, se LF(t)=f(s), então também LFt+N(t) =f(s). Disso segue que podemos ter duas funções diferentes com a mesma transformada de Laplace
Exemplo: As duas funções diferente F1t=e-3t e
F2t=0 t=1e-3t caso contrário tem a mesma transformada deLaplace, isto é, 1s+3
Se considerarmos funções nulas, vemos que a transformada inversa de Laplace não é única. Ela será nula, entretanto, se desconsiderar-se funções nulas (que em geral não aparecem em casos de interesse físico).

Teorema de Lerch: Se nos restringirmos a funções F(t) que sejam seccionalmente contínuas em todo intervalo 0≤t≤N e de ordem exponencial para t>N, então atransformada inversa de Laplace de f(s), isto é, L-1f(s)=F(t), é única. Sempre suporemos essa unicidade, a menos que se diga o contrário.

3. Algumas transformadas inversas de Laplace

4. Algumas propriedades importantes das transformadas inversas de Laplace

Como a transformada iInversa é basicamente um retorno da transformada de Laplace, suas propriedades são parecidas com as da Transfomadade Laplace.

5.1 Propriedade de linearidade
Se c1 e c2 são constantes quaisquer, enquanto f1s e f2s são as transformadas de Laplace de F1t e F2t, respectivamente, então
L-1c1f1s+c2f2s = c1L-1f1s+c2L-1f2s
=c1F1t+ c2F2t
O resultado é facilmente estendido a mais de duas funções.
Por causa dessa propriedade, podemos dizer que L-1 é um operador linear ou que tem a propriedade delinearidade.

5.2 Primeira propriedade de translação ou deslocamento
Se L-1f(s)=F(t),
L-1f(s-a)=eatF(t)

5.3 Segunda propriedade de translação ou deslocamento
Se L-1f(s)=F(t), então
L-1e-asf(s)=Ft-a t>a0 t<a

5.4 Propriedade de mudança de escala
Se L-1f(s)=F(t), então
L-1f(ks)=1kF(tk)

5.5 Transformada Inversa de Laplace de derivadas
SeL-1f(s)=F(t), então
L-1f(n)(s)=L-1dndsnf(s)=-1ntnF(t)

5.6 Quando a transformada inversa for igual a derivada
Se L-1f(s)=F(t), então
L-1sfs-F(0)=F'(t)

5.7 Com a transformada divida por s
Se L-1f(s)=F(t), então
L-1f(s)s=0tFudu
Assim, a divisão por s (ou multiplicação por 1/s) tem o efeito de integrar F(t) de 0 a t.

5.8 A propriedade de convolução
Se L-1f(s)=F(t), eL-1g(s)=G(t), então
L-1f(s)g(s)=0tFuGt-udu=F*G
Chamamos de F*G de convolução ou faltung de F e G, e o teorema é chamado teorema ou propriedade de convolução.

5. Método das Frações Parciais

O Método das frações parciais é utilizado para decompor uma função racional
fs=p(s)q(s)
Para realizar tal tarefa, é preciso de três hipóteses essenciais sobre os polinômios p=ps e q=q(s):
* p=p(s) eq=q(s) só possuem coeficientes reais;
* p=p(s) e q=q(s) não possuem fatores em comum;
* O grau de p=p(s) é sempre menor que o grau de q=q(s)
Apresentaremos alguns exemplos e o mínimo necessário de teoria relacionado com cada método. Um polinômio de grau n na variável s será representado por pn=pns, enquanto p=p(s) será um polinômio conhecido, sendo o seu grau indicado por gr(p). Dentre oscasos importantes, serão analisados:

6.9 Denominador tem m fatores lineares distintos

Aqui n=gr(pn) e cada um dos m fatores “lineares” possuirá a forma (s-ak)(k=1,2,1 …, m), sendo m>n
fs=pn(s)s-a1s-a2…(s-am)
Exemplo:
fs=1s(s+1)(s+2)= As+Bs+1+Ct+2
Multiplicando fs por s(s+1)(s+2) obtemos
1=As+1s+2+Btt+2+Ct(t+1)
Substituindo-se t=0, -1, -2, obtemos
1=2A1= -B1=2C
Que tem...
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