Transformada de Laplace

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TRANSFORMADA DE LAPLACE
Histórico:
Pierre Simon de Laplace (1749-1827), matemático francês, desenvolveu os
Fundamentos da Teoria do Potencial

e fez importantes contribuições à mecânica

celeste e à teoria das probabilidades. Em sua obra “Theórie Analitique”(1812) apresenta a transformação que leva o seu nome, isto é, a Transformada de Laplace.
Objetivo: Resolver equações diferenciais lineares que surgem na matemática aplicada.
Aplicações: Circuitos elétricos; Condução de calor; Flexão de vigas; Problemas econômicos. ETAPAS DA RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA ATRAVÉS DA TRANSFORMADA
DE LAPLACE

Equação diferencial em t
Aplico a Transf. de Laplace

Equação algébrica em s

Solução da equação diferencial em t
Aplico a Transf. Inversa de Laplace

Solução para f(s)

Vantagem de aplicar a Transformada de Laplace na resolução de equações diferenciais é que encontramos a solução particular, sem determinarmos a solução geral, pois as condições iniciais são incorporadas inicialmente na resolução da equação.
Definição: Seja F(t) uma função real definida para todos valores positivos de t. Se a integral f ( s) =

∫

∞
0

e− st F ( t ) dt existe, onde s = x + yj é uma variável complexa, a função

2 f(s) é chamada de “Transformada de Laplace da função F(t)” e é representada por
L( F( t ) ) .

F(t) = 1 então L( F( t ) ) =L(1) =

Exemplo:

1
.
s

Demonstração:

L(1) =

∫

∞
0

e − st ⋅ 1dt

1 − st ∞ e ]0 s 1 1 ∞
L(1) = − ⋅ st ] 0 s e
 1 1   1 1 
L(1) =  − ⋅ s ⋅ ∞  −  − ⋅ s ⋅ 0 
 s e   s e 
 1   1 
L(1) =  − ⋅ 0  −  − ⋅ 1
 s   s 
1
L(1) = s L(1) = −

Propriedades:
1ª) L( aF ( t ) ) = aL( F ( t ) )
Exemplos:

L( 3t ) = 3L( t )
L( 5) = 5L(1)

(

)

(

L 3t 2e − 5t = 3L t 2e − 5t

)

2ª) L( F ( t ) + G( t ) ) = L( F ( t ) ) + L( G( t ) )
Exemplos:

L( cos t + e3t ) = L( cos t ) + L( e3t )

(

)

( )

L sen(3t ) + t 2 − te3t = L( sen(3t ) + L(t 2 ) − L te3t