Transformações lineares planas e rotações no espaço

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Atividades de Aprendizagem



2.1 TRANSFORMAÇÕES LINEARES
2.2 NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
2.3 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
2.4 TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS



1) Podemos entender transformações lineares como um tipo "apropriado" de funções entre espaços vetoriais, pois, como em um espaço vetorial são definidas duas operações, são de interesse as funções quepreservam essas operações. Retome a definição de transformação linear e procure observar nela esse sentido.

Use na resolução dos itens abaixo, a linguagem simbólica da Matemática.

Considere a função f : R2 ® R3, com f (x, y) = (x – y, 2x, y)

1.1) Calcule a imagem, por f, dos vetores u = (– 1, 2) e v = (1, 3) e a soma dessas imagens;

1.2) Calcule a imagem, por f, da soma dos vetores u ev;

1.3) Calcule a imagem, por f, do vetor u multiplicado por 3;

1.4) Multiplique a imagem de u por 3;

1.5) Para os vetores e escalar dados nos exercícios acima, as operações de soma e o produto por escalar são preservadas pela função f ? Por quê?

1.6) O que fizemos acima pode ser aceito com a prova de que f é linear? Se não, faça a prova;

1.7) Escreva o conjunto Dom(f ), domíniode f;

1.8) Escreva o conjunto CDom(f ), contra-domínio de f;

1.9) Qual dos vetores r = (5, 6, – 2) e s = (3, – 4, 6) está no conjunto Im(f ), imagem de f ? Justifique;

1.10) Escreva o vetor que define as imagens, por f, como uma combinação linear de coeficientes x e y;

1.11) Escreva, a partir da combinação linear acima, um conjunto gerador do subespaço Im(f );

1.12) A partir doconjunto gerador da imagem, obtenha uma base para o subespaço Im(f ) e dê a dimensão desse subespaço;

1.13) Escreva o conjunto Im(f );

1.14) Verifique quais dos vetores p = (2, 5) e q = (0, 0) estão no conjunto Nu(f ), núcleo de f;

1.15) Escreva o subespaço Nu(f ), uma de suas bases e a sua dimensão;

1.16) Verifique a propriedade das dimensões: dimNu(f ) + dimIm(f ) = dimDom(f );1.17) Faça uma representação geométrica dos espaços domínio e contra-domínio da transformação f e, sobre eles, dos subespaços núcleo e imagem da f;

1.18) A matriz ou , canônica de f, atua através do produto dela pelo vetor das coordenadas, em relação à base canônica, dos vetores do domínio, da mesma forma que a lei de f. Isso ocorre pois o produto descrito fornece o vetor das coordenadas dasimagens desses vetores, também em relação à base canônica, do contra-domínio. Confirme isso, escrevendo a matriz canônica de f e calculando, com ela, f (2, 3). Depois, confronte o resultado com o que se obtém aplicando a lei.



2) Para que possamos assegurar-nos da linearidade de uma função vetorial, precisamos ter bem presente a definição de função linear. Lembre que, em 2.1.16, apropriedade 1 das transformações lineares pode identificar rapidamente a não linearidade de alguns casos.

Vamos aplicar esses conceitos para reconhecer se as funções abaixo são ou não lineares. Para as que não são lineares, dê um contra-exemplo como justificativa. Para as lineares, faça a prova da linearidade, determine os subespaços imagem e núcleo, escreva uma base para cada um deles e dê as suasdimensões.

2. 1) ;

2. 2) ;

2. 3) ;

2. 4) ;

2. 5) ;

2. 6) ;



3) Seja definida por . Prove que L é linear e encontre uma base para os subespaços Nu(L) e Im(L). Confirme, depois, a propriedade das dimensões:

dim Nu(L) + dim Im(L) = dim Dom(L).



4) Na propriedade 2 das transformações lineares, vimos que uma função linear está completamente definida se conhecemos como elaatua nos vetores de uma base do espaço domínio. Retome essa propriedade para fundamentar a resolução dos exercícios que seguem.

4.1) Considere as bases do R2, A = {(1, 0), (0, 1)} e B = {(– 1, 1), (1, – 2)}, e a função f tal que:

f (1, 0) = (1, – 2), f (0, 1) = (1, 1), f (– 1, 1) = (0, 3) e f (1, – 2) = (– 1, – 4).

4.1.1) Calcule a imagem, por f, do vetor v =...
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