Transformações geométricas

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Transformações Geométricas
Prof. Danilo Douradinho Fernandes

Transformações
  Transformação é uma função que mapeia pontos de um
espaço Euclidiano em outros (ou possivelmente os mesmos)pontos do mesmo espaço.

  Se uma transformação é linear, então   Se um conjunto de pontos está contido em uma reta,
depois de transformados eles também estarão contidos sobre uma reta.   Se um pontoP guarda uma relação de distância com dois outros pontos Q e R, então essa relação de distância é mantida pela transformação.

  Transformação mapeia origem na origem?   Sim: Transformação Linear  Não: Transformação Linear Afim: Translações são
permitidas

Transformações Lineares em 2D
  Uma transformação linear

  Uma transformação linear afim

Transformações Lineares em 2D
⎡x'⎤ ⎡ a b ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ ⎣ y'⎦ ⎣c d ⎦ ⎣ y ⎦ ⎡ x'⎤ ⎡2 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ ⎣ y'⎦ ⎣1 1 ⎦ ⎣ y ⎦

⎧ x' = 2x ⎨ ⎩ y' = x + y


⎡a c ⎤ y [ x' y']= [ x € ] × ⎢b d ⎥ ⎣ ⎦ ⎡2 1⎤ y ] × ⎢ ⎥ ⎣0 1⎦

  Utilizaremos este:



[ x'

y'] = [ x

Transformações Lineares em 2D
  A matriz 2x2 é uma imagem dos vetores unitários
[1 0] e[0 1]:

[ x'

y'] = [ x

⎡2 1⎤ y ] × ⎢ ⎥ ⎣0 1⎦



⎡2 0 ⎤ [2 1] = [1 0] × ⎢1 1⎥ ⎣ ⎦ ⎡2 0 ⎤ [0 1] = [0 1] × ⎢1 1⎥ ⎣ ⎦



Rotação
  Rotação na origem:
  (cos , sen) é a
imagem de (1,0)   (-sen , cos ) é a imagem de (0,1)

  Matrix de rotação:

θ
senθ ⎤ ⎥ € θ ⎦ cos

[ x'

y'] = [ x

⎡ cos θ y ] × ⎢ ⎣−senθ

Mudança de Escala
  Com ref.na origem:
⎧ x' = sx x ⎨ ⎩ y' = sy y

  Matriz de mudança:


[ x'

y'] = [ x

⎡sx y ] × ⎢ ⎣ 0

0 ⎤ ⎥ sy ⎦

  Casos especiais:
  Reflexão em torno de 0: sx = sx = 1  Reflexão em torno de x: sx = 1, sy = −1 €   Reflexão em torno de y: sx = −1, sy = 1

€ €

Cisalhamento
  Sobre o eixo x:
⎧ x' = x + ay ⎨ ⎩ y' = y

  Sobre o eixo y
⎧ x' = x ⎨ ⎩ y' = bx...
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