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Pontif´ Universidade Cat´lica de Minas Gerais ıcia o Lista de Exerc´ ıcios 3 - Geometria Anal´ ıtica Professor Vitor Luiz de Almeida Recomenda¸˜es: co • Mencione todas as vezes que vocˆ utilizar um resultado importante; e • Todos os c´lculos devem ser apresentados de forma clara e organizada; a • N˜o omita nenhum c´lculo; a a • N˜o se limite a fazer somente os exerc´ a ıcios da lista. 1a Quest˜o:Determine a equa¸˜o reduzida da circunferˆncia com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto a ca e A(1, 1). Resp.: (λ) : (x − 2)2 + (y − 1)2 = 1 2a Quest˜o: Determine a equa¸˜o reduzida da circunferˆncia que passa pelos pontos (2, 5), (1, 6) e (−3, 0). a ca e Resp.: O centro da circunferˆncia situa-se na intersec¸˜o das mediatrizes que ligam quaisquer dois pontos. e ca (λ) : (x + 1)2 + (y −3)2 = 13 3a Quest˜o: Determine se as equa¸˜es dadas abaixo representam ou n˜o uma circunferˆncia. Em caso afirmativo, a co a e determine seu centro e raio. Em qualquer outro caso, justifique o porquˆ. e (a) x2 + y 2 + 2x − 2y + 1 = 0 (b) x2 + y 2 + 6x − 8y + 26 = 0 (c) x2 + y 2 + 2x − 6y − 6 = 0 (d) x2 + y 2 + 8x + 6y + 50 = 0 (e) x2 + y 2 + 8x + 6y = 0 (f) x2 + y 2 + 14x + 6y + 25 = 0 (g) x2 + y 2+ 10x − 4y + 29 = 0 Resp.: (a) C(−1, 1) e r = 1 (b) n˜o (c) C(−1, 3) e r = 4 (d) n˜o (e) C(−4, −3) e r = 5 (f) C(−7, −3) e r = a a (g) n˜o a √ 33

4a Quest˜o: Determine a equa¸˜o da reta (r) que passa pelo centro da circunferˆncia (λ) : (x − 3)2 + (y − 2)2 = 8 e a ca e ´ perpendicular a reta (s) : x − y − 16 = 0. e Resp.: (r) : x + y − 5 = 0 5a Quest˜o: Mostre que C = {(x, y) ∈ R 4x2 + 4y 2 −12x + 12y − 7 = 0} representa uma curva fechada. Qual a ´rea a a da regi˜o delimitada por essa curva? a Resp.: Representa uma circunferˆncia de centro C e 3 3 ,− 2 2 e raio r = 5 25π . A ´rea delimitada por essa curva ´ A = a e . 2 4 b, c ∈ R, de tal forma que

6a Quest˜o: Quais condi¸˜es devemos impor sobre os parˆmetros a, a co a 2 2 (λ) : 2x + ay + bxy + 3x + 4y + c = 0 represente umacircunferˆncia? e

Resp.: a = 2, b = 0 e c <

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7a Quest˜o: Os pontos A(5, 0) e B(−1, 0) representam os v´rtices consecutivos de um quadrado. Determine a equa¸˜o a e ca da circunferˆncia circunscrita a esse quadrado. e Resp.: (λ) : (x − 2)2 + (y + 3)2 = 18 ou (λ) : (x − 2)2 + (y − 3)2 = 18 8a Quest˜o: Mostre que C = {(x, y) ∈ R2 a dessa regi˜o? a 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 9} representa uma regi˜o limitadado plano. Qual a ´rea a a

Resp.: C representa uma coroa circular cuja ´rea ´ 8π unidades de ´rea. a e a 9a Quest˜o: Determine a posi¸˜o relativa entre a reta (r) : x + y = 0 e a circunferˆncia (λ) : x2 + y 2 − 5x + 4y + 4 = 0. a ca e Caso (r) ∩ (λ) = ∅, determine as coordenadas do(s) ponto(s) de intersec¸˜o(˜es). ca o Resp.: (r) e (λ) s˜o secantes e (r) ∩ (λ) = a (4, −4), 1 1 ,− 2 2

10aQuest˜o: Sejam P e Q os pontos de intersec¸˜o da reta (r) : 3x + 2y + 12 = 0 com a circunferˆncia a ca e (λ) : x2 + y 2 + 4x + 6y = 0. Mostre que a reta determinada por P e Q cont´m O, em que O ´ o centro de e e (λ). Resp.: P (−4, 0), Q(0, −6) e O ´ o ponto m´dio de P Q e e 11a Quest˜o: Determine a medida da corda determinada pela reta (r) : x + y − 2 = 0 sobre a circunferˆncia (λ) de a e √ centroC(1, 1) e raio r = 2 2. √ Resp.: 4 2 12a Quest˜o: Determine as equa¸˜es das retas tangentes a circunferˆncia (λ) : x2 + y 2 − 8x − 8y + 24 = 0 e paralelas a co e a reta y = x. Resp.: (r) : x − y + 4 = 0 e (s) : x − y − 4 = 0 13a Quest˜o: Seja C a regi˜o limitada do plano cartesiano dada por a a C = {(x, y) ∈ R2 Esboce a regi˜o C e determine sua ´rea. a a Resp.: C ´ um arco de uma coroa circular cuja´rea ´ e a e 3π u.a. 8 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, x − y ≤ 0 e x ≥ 0}

14a Quest˜o: Determine a equa¸˜o de cada lugar geom´trico dado abaixo: a ca e (a) O lugar geom´trico dos pontos do plano que equidistam da reta (r) : y = − e 1 1 e do ponto F 0, . 2 2 (b) O lugar geom´trico dos pontos do plano cuja diferen¸a, em m´dulo, das distˆncias a F1 (−5, 0) e F2 (5, 0) ´ constante e c o a e e igual a 6. (c) O...
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