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94

4.2

Produto Vetorial

Dados dois vetores u e v no espa¸o, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por c u × v (ou u ∧ v, em outros textos) e denominado produto vetorial de u e v. Mas antes, precisamos introduzir o conceito de orienta¸˜o no espa¸o. ca c

4.2.1

Orienta¸˜o geom´trica ca e

Orienta¸˜o sobre uma reta r ca ca Dada uma reta r em que fixamosarbitrariamente um ponto O, temos uma no¸˜o imediata de orienta¸˜o da reta a partir da escolha de uma das semi-retas determinadas pelo ponto O como ca sendo o semi-eixo positivo. Numa representa¸˜o geom´trica de r na posi¸˜o horizontal, ´ usual convencionar como “orica e ca e enta¸˜o positiva”a escolha da semi-reta “` direita”do ponto O, que ´ sua origem. ca a e Escolhendo a outra semi-reta, estar´ ıamos com“orienta¸˜o negativa”. ca Em linguagem vetorial, a escolha de um vetor diretor v da reta r determina automaticamente o sentido positivo (no sentido do vetor v) e o sentido negativo (no sentido oposto de v) da reta. Por isso, dizemos que um vetor v = 0 determina a orienta¸˜o de r. ca Orienta¸˜o do plano R2 ca Consideremos o plano R2 . Dados um ponto O do plano e um par de vetores {v1 , v2 } l.i.,todos os pontos X do plano s˜o dados pela equa¸˜o vetorial X = O + λv1 + µv2 , λ, µ ∈ R. a ca Geometricamente, o ponto O e o vetor v1 determinam uma reta r contida no plano, que separa o plano em dois semi-planos. Ent˜o, considerando os representantes dos vetores v1 e v2 a partir de O, temos que o represena tante de v2 determina um unico semi-plano que o cont´m. ´ e

95 O ˆngulo orientado medido nosentido de v1 para a v2 (dentro do semi-plano) pode ser de duas uma: ou tem sentido hor´rio (acompanhando o moa vimento dos ponteiros do rel´gio) o ou tem sentido anti-hor´rio. a

v2

  v1  •   O

tid sen r

ti-h an o

o ari or´

Na ilustra¸˜o, {v1 , v2 }, nesta ordem, tem o ˆngulo orientado no sentido anti-hor´rio. ca a a Convenciona-se que uma base l.i. de geradores doplano tem “orienta¸˜o positiva”quando o ca a ˆngulo orientado no sentido da ordem dos vetores da base tem o sentido anti-hor´rio. a Exemplo 1: A base canˆnica C = {ı, } do plano cartesiano R2 tem orienta¸˜o positiva. o ca Exemplo 2: Vimos anteriormente que dada uma reta r : X = (x0 , y0 ) + t(a, b), t ∈ R, com v = (a, b) = (0, 0), a dire¸˜o de uma reta ca perpendicular a r poderia ser dada por w1= (−b, a) ou w2 = (b, −a) = −w1 . Os conjuntos B1 = {v, w1 } e B2 = {v, w1 } formam ambos bases ortogonais de R2 , por´m, B1 e ´ base positiva e B2 ´ base negativa, conforme e e podem ser verificados por meio de ˆngulos oria entados. Em geral, em R2 , uma base ´ positiva se possui a mesma orienta¸˜o da base canˆnica C = {ı, }. e ca o  v2 v1 ı v1 v2
   w1   •  (x0 , y0 )   v    •    

v 

r

w2

ı orienta¸˜o positiva ca

orienta¸˜o positiva ca

− orienta¸˜o negativa orienta¸˜o negativa ca ca

Um crit´rio alg´brico para checar se a escolha de uma base B = {v1 , v2 } de R2 ´ positiva ou e e e negativa, ´ o crit´rio do determinante, como segue. e e Sejam v1 = (a, b) e v2 = (c, d) dados num sistema de coordenadas cartesianas.

96  a b 

 cujas linhass˜o as coordenadas dos vetores, tem determinante n˜o nulo, a a c d j´ que os vetores s˜o l.i. a a Se det(A) > 0 a base B tem a mesma orienta¸˜o da base canˆnica do sistema, isto ´, tem ca o e orienta¸˜o positiva. Se det(A) < 0, a base ter´ orienta¸˜o negativa. ca a ca No exemplo das bases ortogonais, a b a b = a2 + b2 > 0 donde a base {v, w1 } ´ positiva e e

A matriz A = 

−b a b −a

=−(a2 + b2 ) < 0, donde a base {v, w2 } ´ negativa. e

Mais geralmente, se (a, b) e (c, d) s˜o as coordenadas dos vetores de uma base B1 dados em a rela¸˜o a uma base B, a orienta¸˜o definida por B1 ´ a mesma orienta¸˜o definida por B se ca ca e ca 0. a b > c d

Orienta¸˜o geom´trica no espa¸o ca e c

Consideremos inicialmente dois vetores u e v no espa¸o, linearmente independentes. Fixando...
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