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MATIRZES
Em matemática, uma matriz m X n é uma tabela de m linhas e n colunas de símbolos sobre um conjunto, normalmente um corpo, F, representada sob a forma de um quadro s. As matrizes são muito utilizadas para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares.
Notação
As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas.Logo uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Por exemplo, a matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais

Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como ai,j ou a[i,j]. Nesseexemplo, o elemento a1 2 é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, , para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a matriz 3x2 .
Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R, etc.) ou a partir de 0 (C e seusdialetos). Por exemplo, o elemento a(1,1) em Fortran corresponde ao elemento a[0][0] em C.
Classificação de matrizes quanto ao número de colunas ou linhas
Matriz quadrada
Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal oselementos aij onde i = j, para i de 1 a n.
Vetor
Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor. Uma matriz 1 × n (uma linha e n colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz m × 1(uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna.
Classificação de matrizes quanto às suas propriedades
Tipo de matriz | É quadrada? | Tem inversa? |Qual é sua transposta? | Positiva/ negativa definida? | | | | |
Matriz identidade In | Sempre | Sim, ela mesma: In | Ela mesma, In (é uma matriz simétrica) | Sempre é positiva definida | | | | |
Matriz inversa | Sempre | Sim, e é igual à matriz original, | | Positiva definida se B for positiva definida | | | | |
Matriz singular | Sempre | Nunca | | | | | | |
Matrizsimétrica | Sempre | Não necessariamente | | Negativa definida se e apenas se todos os valores característicos de D forem negativos | | | | |
Matriz transposta Et | Não necessariamente | Não necessariamente | E | | | | | |
Matriz positiva definida F | Sempre | Sim, e F-1 também é positiva definida. | Ft | Sempre é positiva definida | | | | |
Matriz negativa definida G | Sempre |Sim, e G-1 também é negativa definida | Gt | Sempre é negativa definida | | | | |

Matriz identidade
A matriz identidade In é a matriz quadrada n × n em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero, por exemplo
.
Ela é chamada de matriz identidade pois multiplicá-la por outra matriz não altera a matriz: MIn = ImM = M para qualquer matriz M de ordemm por n.
Matriz inversa
Uma matriz é dita inversa de uma matriz A, se obedece à equação matricial , ou seja, se o produto entre as matrizes é a matriz identidade. A analogia com os números reais é evidente, pois assim como o produto entre dois números inversos é a unidade (elemento neutro da multiplicação), o produto entre duas matrizes inversas é a matriz identidade (elemento neutro damultiplicação entre matrizes). Uma matriz que possui inversa é dita inversível.
A condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada seja inversível é possuir um determinante não nulo, sendo que para uma dada matriz A, a matriz inversa é única. A necessidade de possuir determinante não nulo é evidente na equação , pois nela o determinante da matriz original é denominador de uma fração....
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