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Análise de Tensões e Deformações

RES MAT XI

8.0 – Variação da tensão com a orientação do plano da seção. Nos capítulos precedentes aprendemos a computar os valores das tensões alcançadas em um certo ponto de uma dada seção de uma viga ou barra submetida a variados tipos de esforços solicitantes e suas combinações. Tais tensões são calculadas no plano da seção. Cabe indagar: - em outrosplanos, que não o da seção transversal, quais seriam os valores atingidos pelas componentes da tensão naqueles pontos? 8.1 – Estado Duplo de Tensões. Inicialmente estudaremos o caso mais simples (porém muito comum) de pontos submetidos a um estado duplo (ou plano) de tensões (quando σz = τzx = τzy = 0), sendo conhecidas as tensões: σx , σy e τxy = τyx .
y

σy

t

τyx τxy σx τxy σx
dy x

yt

τnt σ n
ds

n

σx

σx dy dz
x dz

θ

τnt ds dz
θ

n

σn ds dz
x

τxy dy dz τyx dx dz
(c)

z

dx

σy
(a)

z

σy
(b)

τyx

σy dx dz

Fig. 8.1.1 – Variação da tensão com a orientação do plano da seção. (a) Estado duplo de tensões; (b) tensões em um plano inclinado; (c) forças atuando em um elemento prismático. Suponha um elemento infinitesimal submetido aum estado plano de tensões, como indicado na Fig. 8.1.1 (a) (onde todas as tensões foram supostas positivas). Em um plano qualquer (que tem como orientação a normal n), formando um ângulo θ com o plano “x” (que tem como normal o eixo x), as tensões reinantes serão designadas como: σn e τnt - Fig. 8.1.1 (b). Computando as forças reinantes nas faces do elemento prismático em referência, pode-seconcluir, por seu equilíbrio nas direções normal (n) e tangencial (t) ao plano qualquer (θ) (Fig.8.1.1-c – forças de massa de origem gravitacional ou de inércia, proporcionais ao volume do elemento, são de ordem desprezível): (ΣFn = 0) −− σn ds dz = σx dy dz cos θ + σy dx dz sen θ + τxy dy dz sen θ + τyx dx dz cos θ Como τxy = τyx e, considerando que cos θ = dy/ds e sen θ = dx/ds, obteremos:

σn= σx cos2 θ + σy sen2 θ + 2 τxy sen θ cos θ.................. (8.1.1)

Pelo equilíbrio das forças na direção transversal (t), da mesma forma, obteremos:

τnt = - (σx - σy) sen θ cos θ + τxy ( cos2 θ - sen2 θ) ................. (8.1.2)
Como: cos2 θ = ½ (1 + cos2θ); sen2 θ = ½ (1 - cos2θ); sen2θ = 2 senθ cosθ e cos2θ = cos2 θ - sen2 θ, 1

Análise de Tensões e Deformações obtemos

σn = ½(σx + σy) + ½ (σx - σy) cos 2θ + τxy sen 2θ ...............(8.1.3) σ σ θ θ
e

σ τnt = - ½ (σx - σy) sen 2θ + τxy cos 2θ .................................(8.1.4) θ θ

(Observe os casos particulares quando θ = 0 e θ = 90º, que indicam as tensões dadas nos planos vertical – x, e horizontal – y, respectivamente).

8.2 – Tensões Extremas. Tensões Principais.
Relevante será computar os valoresextremos alcançados pelas componentes da tensão. Para tal, igualaremos a zero as derivadas, em relação à variável θ, das componentes da tensão no plano genérico: - de (8.1.3) ..... dσn/dθ = - ½ (σx - σy) sen 2θ (2) + τxy cos 2θ (2) = 0 obtendo-se 0,

tg 2θp = τxy / ½ (σx - σy) ………………………….(8.2.1) θ σ
equação que indica a orientação dos chamados planos principais onde as tensões normais são extremas(máxima e mínima), planos esses que serão perpendiculares entre si (existem dois valores do ângulo 2θp , defasados de 180º, que admitem a mesma tangente, portanto os correspondentes dois valores de θp estarão defasados de 90º). Substituindo o valor dado por (8.2.1) na equação (8.1.4) verifica-se que as componentes tangenciais das tensões ocorrentes nos planos principais serão nulas. Substituindo ovalor dado por (8.2.1) na equação (8.1.3), obteremos os valores das tensões principais (tensões normais extremas, máxima e mínima):

σ p1 = ½ (σx + σy) + √ [½ (σx - σy)] 2 + (τxy )2 ....................(8.2.2) σ σ τ σ p2 = ½ (σx + σy) - √ [½ (σx - σy)] 2 + (τxy )2 ....................(8.2.3) σ σ τ
Interessante observar que, somando membro a membro as equações (8.2.2) e (8.2.3), concluiremos...
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