Trabalho

Análise de Tensões e Deformações

RES MAT XI

8.0 – Variação da tensão com a orientação do plano da seção. Nos capítulos precedentes aprendemos a computar os valores das tensões alcançadas em um certo ponto de uma dada seção de uma viga ou barra submetida a variados tipos de esforços solicitantes e suas combinações. Tais tensões são calculadas no plano da seção. Cabe indagar: - em outros planos, que não o da seção transversal, quais seriam os valores atingidos pelas componentes da tensão naqueles pontos? 8.1 – Estado Duplo de Tensões. Inicialmente estudaremos o caso mais simples (porém muito comum) de pontos submetidos a um estado duplo (ou plano) de tensões (quando σz = τzx = τzy = 0), sendo conhecidas as tensões: σx , σy e τxy = τyx . y σy

t

τyx τxy σx τxy σx dy x

y

t

τnt σ n ds n

σx

σx dy dz x dz

θ

τnt ds dz θ n

σn ds dz x τxy dy dz τyx dx dz
(c)

z

dx

σy
(a)

z

σy
(b)

τyx

σy dx dz

Fig. 8.1.1 – Variação da tensão com a orientação do plano da seção. (a) Estado duplo de tensões; (b) tensões em um plano inclinado; (c) forças atuando em um elemento prismático. Suponha um elemento infinitesimal submetido a um estado plano de tensões, como indicado na Fig. 8.1.1 (a) (onde todas as tensões foram supostas positivas). Em um plano qualquer (que tem como orientação a normal n), formando um ângulo θ com o plano “x” (que tem como normal o eixo x), as tensões reinantes serão designadas como: σn e τnt - Fig. 8.1.1 (b). Computando as forças reinantes nas faces do elemento prismático em referência, pode-se concluir, por seu equilíbrio nas direções normal (n) e tangencial (t) ao plano qualquer (θ) (Fig.8.1.1-c – forças de massa de origem gravitacional ou de inércia, proporcionais ao volume do elemento, são de ordem desprezível): (ΣFn = 0) −− σn ds dz = σx dy dz cos θ + σy dx dz sen θ + τxy dy dz sen θ + τyx dx dz cos θ Como τxy = τyx e, considerando que cos θ = dy/ds e sen θ = dx/ds, obteremos:

σn