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Alguns Apontamentos Sobre C´lculo a Combinat´rio o

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O objectivo do C´lculo Combinat´rio ´ resolver problemas do tipo: “quana o e tas matriculas de carro ´ poss´ fazer em Portugal”; “quantos n´meros de e ıvel u telefone existem”, etc. Aprender C´lculo Combinat´rio ´ como aprender a a o e escrever: h´ alguns elementos fundamentais (“letras”) que ´ preciso aprender a e a juntar para formar“palavras”. Estes elementos fundamentais s˜o trˆs a e (1) Permuta¸oes; c˜ (2) Rolos da Registadora; (3) Partes de um Conjunto. Imaginemos que temos trˆs pessoas sentadas num banco de jardim; de e quantas formas diferentes ´ poss´ sent´-las? Imaginemos que temos quatro e ıvel a cubos de quatro cores diferentes; quantas torres de quatro cubos ´ poss´ e ıvel construir? Imaginemos que numa corrida partemdez atletas; quantas s˜o as a ordens pelas quais estes dez atletas podem chegar ` meta? a Em todos estes problemas basta contar o n´mero de trocas (permuta¸˜es) u co que podemos fazer. Por exemplo, se as pessoas no banco de jardim s˜o a A(nt´nio), B(eatriz), C(arlos), elas podem-se sentar das seguintes formas: o ABC, BCA, CAB, ABC, CBA, BAC. Nos cubos ´ semelhante. Se as cores s˜o A(marelo),B(ranco), C(astanho), e a E(sverdeado), podemos empilhar os cubos das formas seguintes: ABCE, BCEA, BEAC, etc. Finalmente, se os ateletas est˜o numerados de 0-9, eles podem chegar ` a a meta pelas ordens seguintes: 0123456789, 3256478910, etc.

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Em todos os casos como se pode saber facilmente qual ´ o n´mero de e u possibilidades, qual ´ o n´mero de trocas, qual ´ o n´mero de permuta¸˜es? e u eu co O n´mero de permuta¸˜es de n elementos ´ n! = n(n − 1)(n − 2) . . . 2. Assim, u co e o primeiro problema acima tem 3 pessoas logo h´ 3! maneiras diferentes de a sentar as pessoas no banco de jardim. E 3! = 3 × 2 = 6. O problema dos cubos resolve-se calculando as permuta¸˜es de 4 cubos co diferentes o que d´ 4! = 4 × 3 × 2 = 24. a O problema dos atletas resolve-se calculando as permuta¸oes deum conc˜ junto com 10 elementos, o que d´ a 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 3628800. O segundo elemento fundamental no C´lculo Combinat´rio s˜o os Rolos a o a de Registadora. Antigamente as m´quinas registadoras tinham uma s´rie de a e rolos e em cada um havia 10 algarismos. Se o n´mero de rolos ´ 6, ent˜o o u e a n´mero de n´meros que ´ poss´ escrever ´ 10×10×10×10×10×10 = 106 . u u eıvel e Imaginemos agora que queremos saber quantas palavras (eventualmente sem sentido) de trˆs letras ´ poss´ e e ıvel fazer com as letras A e B. Podemos considerar que temos trˆs rolos e cada rolo tem as duas letras. Por isso, e temos 2 × 2 × 2 = 23 . Imaginemos agora que queremos ver quantas matriculas de carro ´ poss´ e ıvel fazer em Portugal. Temos 6 rolos, nos quatro primeiros temos os 10algarismos e nos dois restantes temos 24 letras. Portanto a solu¸˜o ´ 10 × 10 × 10 × ca e 10 × 24 × 24 = 104 × 242 . Quantas chaves de Totobola ´ poss´ fazer? O n´mero de jogos s˜o 13. e ıvel u a Portanto temos 13 rolos e cada rolo pode tomar o valor 1, X ou 2. Logo a solu¸ao ´ 313 = 1594323. c˜ e Quantas chaves de Totoloto ´ poss´ fazer? Aqui j´ temos um problema e ıvel a diferente. Queremosescolher 6 n´meros de um conjunto de 47. u Outro problema semelhante ´ o seguinte. De quantas formas diferentes e ´ poss´ encher um carro de 5 lugares tendo um grupo de 16 pessoas? Tal e ıvel como no caso do Totoloto, queremos saber quantos subconjuntos de cinco pessoas ´ poss´ formar a partir de um conjunto de 16 pessoas. e ıvel Dado um conjunto com n elementos, chamamos Partes do Conjunto com kelementos aos subconjuntos do conjunto inicial que tˆm k elementos. O e n n´mero de partes do conjunto com k elementos ´ representado por Ck e u e 3

designa-se por combina¸˜es de n, k a k. co
n Ck =

n! . k!(n − k)!

Assim o n´mero de chaves do totoloto ´ u e
47 C6 =

47! = 10737573. 6!(41)!

Este n´mero ´ aproximadamente o n´mero de segundos que h´ em 4 meses. u e u a Portanto...
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