Trabalho matemática - números complexos

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Colégio Serrano Guardia

Alana Games de Lima, 02
3 EMA
Professora: Ivaldete/ Disciplina: Matemática

Guarulhos, 2010
Índice

Definição Pág. 03
Igualdade de números complexos Pág. 04
Adição e Subtração Pág. 04
Multiplicação Pág. 05
O conjugado e a divisão Pág. 05
Potências de i Pág. 07
O caso da raiz quadrada Pág. 07
Representação dosnúmeros complexos Pág. 08
Módulo de número complexo Pág. 09
Conclusão Pág. 10
Bibliografia Pág. 11

Definição
Vimos na resolução de uma equação do 2º grau que se o discriminante é negativo, ela não admite raízes reais. Por exemplo, a equação
x2 + 9 = 0
não admite raízes reais. Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos
x2 = -9
x = ±
mas éinaceitável tal resultado para x; os números negativos não têm raiz quadrada.
Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os matemáticos ampliaram o sistema de números, inventando os números complexos.
Primeiro, eles definiram um novo número
i =
Isso conduz a i2 = -1. Um número complexo é então um número da forma a + bi onde a e b são números reais.
Para aequação acima fazemos
x = ±
x = ±
x = ± .
x = ± 3 i
As raízes da equação x2 + 9 = 0 são 3i e - 3i.
Um número complexo é uma expressão da formaa + bionde a e b são números reais e i2 = -1.No número complexo a + bi, a é a parte real e b é a parte imaginária. |
Exemplos
2 + 5i | parte real 2 | parte imaginária 5 |
  i | parte real | parte imaginária |
12i | parte real 0 | parteimaginária 12 |
-9 | parte real -9 | parte imaginária 0 |
Um número como 12i, com parte real 0, chama-se número imaginário puro. Um número real como -9, pode ser considerado como um número complexo com parte imaginária 0.

Igualdade de números complexos
Os números complexos a + bi e c + di são iguais se suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais, isto é:
a + bi = c + di seExemplos
2 + 5i =
Se x e y são números reais e x + yi = 7 - 4i, então x = 7 e y = - 4.
Adição e Subtração
Adição
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i | Para adicionarmos dois números
complexos, adicionamos as partes
reais e as partes imaginárias |
Subtração
(a + bi) - (c + di) = (a – c) + (b – d)i | Para subtrairmos dois números
complexos, subtraímos as partes
reais e aspartes imaginárias |
Exemplos
(3 + 4i) + (- 7 + 8i) = (3 - 7) + (4 + 8) i
= - 4 + 12i
Na prática, fazemos
(3 + 4i) + (-7 + 8i) =
(- 5 + 6i) - (4 - 2i) = (- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i
= - 9 + 8i
Na prática fazemos
(-5 + 6i)
Multiplicação
(a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i | Multiplicamos números
complexos como multiplicamos
binômios, usando i2 = - 1 |
Exemplos
= 6 – 8i + 9i –12i2 | Distributiva |
= 6 + i – 12 . (-1) | -8i + 9i = i  e  i2 = - 1 |
= 6 + i + 12 |   |
= 18 + i |   |

= – 8 – 4i + 4i + 2i2 | Distributiva |
= – 8 + 2 . (-1) | -4i + 4i = 0  e  i2 = - 1 |
=  – 8 – 2 |   |
= – 10 |   |
= – 3i . (4) – 3i . (-2i)
= - 12i + 6i2
= - 12i + 6 . (-1)
= - 6 - 12i
O conjugado e a divisão
Divisão de números complexos é semelhante à racionalizaçãodo denominador de uma fração com radicais. Assim, se temos o quociente nosso objetivo é escrevê-lo na forma a + bi. Para isso, introduziremos inicialmente o conceito de conjugado de um número complexo.
Complexos conjugadosO conjugado de um número complexo a + bi é a - bi, e o conjugado de a - bi é a + bi.Os números complexos a + bi e a - bi são chamados complexos conjugados.Para um númerocomplexo z, seu conjugado é representado com ; então, se z = a + bi escrevemos = a - bi. |
Exemplos
O conjugado de z = 2 + 3i é = 2 - 3i
O conjugado de z = 2 - i é = 2 + 3i
O conjugado de z = 5i é = - 5i
O conjugado de z = 10 é = 10
Quando multiplicamos um número complexo z = a + bi pelo seu conjugado = a - bi, o resultado que se obtém é um número real não negativo:
z .  = (a + bi) . (a – bi)...
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