Trabalho logica

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Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ
Campus Santa Rosa














PROGRESSÕES, INDUÇÃO E MORFISMO





























Aluno: Wagner Dorneles Magnus
Curso: Informática – Sistema de Informação
Componente Curricular: Lógica e Instruções Discretas
Prof.: Marcos Ronaldo Melo CavaleiroSanta Rosa, junho de 2010

SUMÁRIO


Introdução 3

Progressão Aritmética 3
Termo Geral de uma P.A. 3
Propriedade das Progressões Aritméticas 4
Soma dos n primeiros termos de uma P.A. 4

Progressão Geométrica 5
Fórmula do Termo Geral 5
Propriedades Principais 6
Soma dos n primeiros termos de uma P.G. 6
Soma dos termos de umaP.G. decrescente e ilimitada 7

Indução Matemática 8
Enunciado do Procedimento 9
Demonstração 9

Morfismo 10
Representação de um morfismo 11
Tipos de morfismos 11

Conclusão 12

Bibliografia 12




















INTRODUÇÃO


    As sequencias matemática, chamadas de progressões podem ser provadas por meio dachamada Indução Matemática, já que, este método é usado para demonstrar a verdade de um número infinito de proposições, como é o caso das progressões. Já o Morfismo é um elemento que faz parte da chamada teoria das categorias.
    Este trabalho tem como objetivo apresentar os conceitos e características das progressões (aritmética e geométrica), da indução matemática e do morfismo.PROGRESSÃO ARITMÉTICA

    Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

    Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90,80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente


Termo Geral de uma PA

    Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
    De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
.....................................................

    Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que:.............. an = a1 + (n – 1) . r
    A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.
    Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.

    Exemplos:

    Qual o milésimo número ímpar positivo?

Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 equeremos calcular o milésimo termo a1000. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:
a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999. Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.

    Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?
Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo,22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n , 
de onde vem n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos.

    Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemos generaliza-la da seguinte forma:
Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos escrever a seguintefórmula genérica:
aj = ak + (j - k).r

     Exemplos:

    Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?
Temos a5 = 30 e a20 = 60.
Pela fórmula anterior, poderemos escrever:
a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ;
60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.

    Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?
Temos r = 5, a20 = 8....
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