Trabalho , lei de hooke e centro de massas

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Trabalho:
Consideramos um eixo 0s
u->
u->

s
s
1
1
0
0
Indiquemos por u o vetor, de comprimento unitário, determinado pelo segmento de origem 0 e extremidade 1.
Seja α um número real; F = α u é um vetor paralelo a u . O numero α é a componente de F na direção u. Se α > 0 , α u tem o mesmo sentido de u; se α < 0, α u tem sentidocontrário a u.

Suponhamos agora, que uma força constante F = α u atua sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo 0s, entre as posições s = s1 e s = s2. Com s1 e s2 quaisquer. Definimos o trabalho Ϯ realizado por F ,de s1 a s2 , por:
Ϯ = α (s2 –s1)

Assim o trabalho realizado pela força constante F = α u, de s1 a s2, é , por definição, o produto da componente de F, na direção dedeslocamento, pelo deslocamento. Temos os seguintes casos:
1- α > 0 e s2 > s1 → Ϯ > 0
2- α < 0 e s2 > s1 → Ϯ < 0 ;Neste caso, F atua contra o movimento; F é uma força de resistência ao movimento
3- α < 0 e s2 < s1 → Ϯ > 0 ; F realiza um trabalho de resistência ao movimento: Ϯ < 0
4- α < 0 e s2 < s1 → Ϯ > 0 ; F atua a favor do movimento : Ϯ > 0Suponhamos agora uma partícula que se desloca sobre o eixo 0s atua uma força constante F de intensidade F, mas não paralela ao deslocamento
Ft = F cos ϴ u
Onde ϴ é o contado no sentido anti – horário de 0s para F. O trabalho Ϯ realizado por F, de s1 a s2 , é , então, por definição,
Ϯ = (F cos ϴ)(s2- s1)
Exemplo :
Sobre um bloco em movimento atua uma força constante, paralela aodeslocamento e a favor do movimento. Supondo que a força tenha intensidade de 10N , calcule o trabalho realizado por ela quando o bloco se desloca de x = 2m a x = 10m.

O trabalho Ϯ realizado por F é :
T = 10(10 – 2 ) = 80 J

Exemplo 2 :
Uma partícula de massa 5 kg é lançada verticalmente. Calcule o trabalho realizado pela força gravitacional quando a partícula se desloca da altura y= 1m a y =5m.
Pela lei de Newton, a força gravitacional F é dada por
F = -Mg j
Onde M é a massa da partícula e g a aceleração da gravida que suporemos constante e igual a 10m/s². Observe que F é paralela ao deslocamento. O trabalho Ϯ realizado por F é então
Ϯ = - Mg( 5 – 1 )
Ou
-------------------------------------------------
T = -200 J
Nosso objetivo a seguir é definir trabalhorealizado por uma força variável com posição. Suponhamos, então que sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo x atua uma força paralela ao deslocamento e variável com posição x, F(x) = f(x) i .

Observe que f(x) é a componente de F(x), na direção do deslocamento. Vejamos então, como definir o trabalho realizado por F no deslocamento de x = a até x= b . Suponhamos, por um momento, a < b ef(x) contínua em [ a , b ].
Supondo máx ∆xi suficientemente pequeno e tendo em conta a continuidade de f, o trabalho realizado de xi – 1 até xi( i = 1, 2, .... , n) deverá ser aproximadamente f(xi) ∆xi; por outro lado é razoável esperar que a soma de Riemann
i=1nf(xi)∆xi
Deva ser um valor aproximado para o trabalho realizado por F no deslocamento de x = a até x = b e que esta aproximaçãoseja tanto melhor quanto menor for max ∆xi. Nada mais natural, então, do que definir o trabalho Ϯ realizado por F(x) = f(x)i, no deslocamento de x = a até x = b por
Ϯ = abf(x)dx

Exemplo :
Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo 0x atua uma força paralela ao deslocamento e de componente f(x) = 1 /x² . Calcule o trabalho realizado pela força no deslocamento de x = 1 até x = 2
Ϯ =121/x² dx
Ϯ = (- 1/ 2 ) – ( -1)
Ϯ = ½ J

Lei de Hooke para molas: F=kx

A Lei de Hooke diz que a força necessária para esticar ou comprimir uma o mola com x unidades de comprimento, partindo de sua posição original (não forçada), é proporcionada a x. Em símbolos,
F =kx
A constante k, medida em unidades de força por comprimento...
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