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Sistemas de Equações Lineares

4-1

Sistemas de Equações Lineares
Definição
Um sistema de equações lineares pode ser definido como um conjunto de n equações com n variáveis independentes entre si, na forma genérica, como: a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3 an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn na qualaij (i, j = 1, 2, 3, ..., n) são os coeficientes do sistema de equações, xi (i = 1, 2, 3, ..., n) são as n incógnitas e bi (i = 1, 2, 3, ..., n) os termos independentes.
¢ ¢ ¡     £  

(1)

Formulação Matricial
As equações representadas em (1) podem ser descritas na forma matricial como: [A][x] = [b] para o qual:
£

(2)

a n3

Nesta representação, a solução direta pode ser obtidafazendo-se: [x] = [A]-1[b] (4)

para a qual emprega-se os métodos de inversão de matrizes utilizados em cursos de Álgebra Linear. O cálculo da matriz inversa pode ser feito através da propriedade da matriz identidade: [I] = [A]-1[A] (5)

Se os coeficientes da matriz inversa [A]-1 são as incógnitas do problema, então o cálculo desses coeficientes resume-se a encontrar a solução do seguinte sistemade equações:
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue

¤

¤

¤

£ £ ¥

¤

 a11 a12 a  21 a 22 [A] = a 31 a 32   a n1 a n 2 
¤ ¤

a13 a 23 a 33

a1n   x1   b1   x  b  a 2n   2  2  , [x ] =  x 3  , [b] =  b 3  a 3n            x n  b n  a nn     

(3)

Sistemas de Equações Lineares

4-2

Assim, o problema do cálculo desistemas de equações lineares através do produto da matriz inversa resulta num problema de cálculo de sistemas de equações lineares. À seguir, apresentaremos um método direto para a solução de sistemas de equações lineares denominado método de eliminação gaussiana e outro método, iterativo, chamado método de Gauss-Seidel. Além desses métodos, inúmeros outros apropriados para cada tipo de sistema deequações lineares existem, mas que não trataremos neste texto.

Método da Eliminação Gaussiana
Considere o sistema de equações representado matricialmente por [A][x] = [b]. O Método da Eliminação de Gauss consiste basicamente em transformar a matriz de A num sistema triangular equivalente, através da aplicação repetida de dois tipos de operações: 1. Permutação entre duas linhas; 2. Subtração deuma linha por outra multiplicada por uma constante. Essas operações produzem sistemas equivalentes aos originais; enquanto a operação 2 não altera o determinante da matriz de coeficientes, a operação 1 apenas inverte o seu sinal. A análise de propagação de erros de arredondamento indica a conveniência de todos os multiplicadores serem menores do que 1 em valor absoluto. A esse procedimento dá-seo nome de pivoteamento. Descrição do algoritmo com pivoteamento Vamos considerar um sistema constituído de quatro equações e quatro incógnitas: a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = b3 a41x1 + a42x2 + a43x3 + a44x4 = b4 Seja [A] a matriz de coeficientes, [A]+ a matriz aumentada pelos termos independentes e o sistema na forma matricialdescrito por [A][x] = [b], no qual:

Cálculo Numérico e Computacional

 

 

 

x n2

a n2

¡

¢    

¡

¡

¡

¢    

¡

¡

¡

¢    

¡

 x 11 x −1 [A ] [A ] =  21   x n1

x 12 x 22

x 1n   a 11 x 2 n  a 21    x nn  a n1

a 12 a 22

a 1n  1 0 a 2 n  0 1 =     a nn  0 0

0 0  = [I ]   1

(6)

¡

C.Y. Shigue Sistemas de Equações Lineares

4-3

 a11 a12 a a [A] =  21 22 a 31 a 32  a 41 a 42

a 13 a 23 a 33 a 43

a 14   x1   b1   x  b  a 24  , [x] =  2  , [b] =  2   x3   b3  a 34       a 44  x4   b4  a 13 a 14 b1  b2   b3   b4 

 a11 a 12 a a [A]+ =  21 22 a 31 a 32  a 41 a 42

a 23 a 24 a 33 a 34 a 43 a 44

(7)

Os seguintes passos...
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