Trabalho Academico de Matemática

Respostas
Questão 1: (1 ponto) Demonstre que dados dois números inteiros ímpares 𝑎 e 𝑏 quaisquer, então a expressão 𝑎𝑏 + 𝑏 é sempre um número par. a= 2n +1 b = 2m +1 ab + b = (2n+1)(2m+1) + 2m+1 = 4nm + 2n + 4m + 2 = 2(2nm+n+2m+1)

Questão 2: (1 ponto) Demonstre, por contraposição, que se 𝑎2 + 71 é ímpar, então o inteiro 𝑎 é par.
Se a é ímpar então a² + 71 é par.
Se a é ímpar então existe um inteiro n tal que a = 2n + 1. a² + 71 = (2n+1)² + 71 = 4n² + 2n + 72 = 2(2n²+n+36) que é par.

Questão 3: (4 pontos) Utilize o Princípio de Indução Matemática para demonstrar que as igualdades abaixo são verdadeiras:
(a) 5 + 9 + 13 + 17 + . . . + (4𝑛 + 1) = 𝑛(2𝑛 + 3), ∀𝑛 ≥ 1.
a) Base da indução n = 1 quando temos apenas o primeiro termo da soma. Então
5 = 1(2.1+3) = 5
Passo da indução
Supondo que a fórmula vale para n = k para algum inteiro k>=1 temos que provar que para n = k + 1 é valida a seguinte expressão:
5 + 9 + 13 + 17 + . . . + (4k + 1) + (4.(k+1)+1) = (k+1)(2(k+1) + 3)
5 + 9 + 13 + 17 + . . . + (4k+1) +(4k + 5 ) = (k+1)(2k+5)
5 + 9 + 13 + 17 + . . . + (4k+1) +(4k + 5 ) = 2k²+7k+5 como do 5 até (4k+1) a soma é k(2k+3) por hipótese temos que k(2k+3) +(4k + 5 )= 2k²+7k+5
2k²+3k + 4K +5 = 2k² + 7k + 5
2k² + 7k +5 = 2k² + 7k + 5 o que mostra que a indução funcionou , ou seja a sentença é verdadeira para todo n.

(b) 6𝑛 + 4 é divisível por 5, ∀𝑛 ≥ 1 .

b)Base da indução n = 1, Se n=1 temos que 6x1 + 4 = 10 que é divisível por 5.

Passo da indução
Supondo que a fórmula vale para n = k m para algum inteiro k>=1 , temos que existe um inteiro m tal que
6k+4 = 5m
6k = 5m - 4
Precisamos provar que para n = k + 1 é valida a seguinte expressão:
6(k+1) +4 = 6k + 10 = 5(k +2) ou seja é um múltiplo de 5, o que mostra que a indução funcionou
, ou seja a sentença é verdadeira para todo n.

Questão 4: (1 ponto) Utilizando a definição da função fatorial, determine o valor de:
(a) 5! + 3! + 1!
(b) 38! 36!
a)5! = 5x4x3x2x1= 120
3! = 3x2x1 = 6
1! = 1 resultado = 127
b)38x37x36!